ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 829

№

Расстояние между основаниями перпендикуляров

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена биссектриса $AD$ . Прямая, проведённая через точку $D$ перпендикулярно к $AD$ , пересекает прямую $AC$ в точке $E$ . Точки $M$ и $K$ — основания перпендикуляров, проведённых из точек $B$ и $D$ к прямой $AC$ . Найдите $MK$ , если $AE=a$ .

Решение

Дано: , — биссектриса, , , , . Найти .

По теореме о биссектрисе . Но удобнее сравнить проекции. Так как , основание высоты — середина : .
Поскольку , угол между и дополняет угол до . Биссектриса даёт .
Обозначим , и . Из теоремы о биссектрисе , поэтому . Из подобия треугольников с высотами получаем .
Пусть высота . По теореме Пифагора . Из подобия при параллельных и имеем и .
Прямоугольные треугольники и подобны: у них общий острый угол между и дополняется до прямого из-за . Поэтому .
Подставим : , . Тогда

Здесь использовано . Так как , получаем .

Ответ

Помогло?

Номер 829