№
Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.
Решение
Дано: простой четырёхугольник
- Если четырёхугольник выпуклый, прямая каждой диагонали разделяет две остальные вершины (задача
); утверждение выполнено. - Пусть четырёхугольник невыпуклый. Тогда один его внутренний угол больше
; пусть это угол при . Диагональ проходит вне «впадины», так что и могут лежать по одну сторону от . - Но отрезок
расположен внутри объединения треугольников, образующих четырёхугольник, и его прямая разделяет и . Если бы были с одной стороны от , ломаная должна была бы пересечь себя, что противоречит определению четырёхугольника как простой замкнутой ломаной. - Следовательно, хотя бы одна из пар противоположных вершин лежит по разные стороны от прямой через другую пару.
Ответ
Такая пара противоположных вершин всегда существует.
Помогло?
