Прямая перпендикулярна к плоскости ромба , диагонали которого пересекаются в точке . а) Докажите, что расстояния от точки до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны. б) Найдите это расстояние, если дм, дм, дм.
Дано:
-
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются в серединах. Точка
лежит на биссектрисах углов ромба. По свойству биссектрисы она одинаково удалена от прямых, содержащих две стороны каждого угла. Значит, расстояния от до всех четырёх сторон равны; обозначим общее расстояние . -
Для произвольной стороны возьмём основание
перпендикуляра из к её прямой. Проекция на плоскость ромба — . По теореме о трёх перпендикулярах перпендикулярен стороне. В прямоугольном имеем . Правая часть не зависит от выбора стороны; пункт а) доказан. -
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам. Поэтому их половины равны
дм и дм. По теореме Пифагора в сторона дм. -
Площадь ромба через диагонали равна
дм². С другой стороны, сумма площадей четырёх треугольников с вершиной даёт . Отсюда дм. -
Наконец,
дм.
а) Расстояния равны; б)
