ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 161

№

Проекция биссектрисы пространственного угла

Луч $BA$ не лежит в плоскости неразвёрнутого угла $CBD$ . Докажите, что если $\angle ABC=\angle ABD$ , причём $\angle ABC<90^\circ$ , то проекцией луча $BA$ на плоскость $CBD$ является биссектриса угла $CBD$ .

Решение

Дано: , . Доказать: ортогональная проекция делит пополам.

Опустим . Точка уже лежит в плоскости, поэтому проекция луча — луч . Он ненулевой: если бы , то и оба угла , равнялись бы , вопреки условию.
Опустим из перпендикуляры и на прямые и . Так как оба угла при равны и остры, основания и лежат на лучах и . Прямоугольные треугольники и имеют общую гипотенузу и равные острые углы по условию. По признаку равенства прямоугольных треугольников и .
Поскольку , треугольники и прямоугольные при . По теореме Пифагора и . Из следует .
По теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, из следует , а из следует . Значит, и — расстояния от до сторон угла ; они равны.
Проекция находится внутри угла : его перпендикуляры к сторонам попадают на оба луча, а проекция имеет положительное направление вдоль каждого луча, поскольку углы и острые. По свойству биссектрисы точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе. Следовательно, луч — биссектриса. Требуемое доказано.

Ответ

Проекция луча — луч , причём ; значит, — биссектриса.

Помогло?

Номер 161