Дано: и — скрещивающиеся взаимно перпендикулярные прямые. Доказать: существует плоскость через , перпендикулярная , и плоскость через , перпендикулярная .
Выберем точку . По задаче п. через проходит плоскость , перпендикулярная прямой . Нужно показать, что она содержит всю прямую .
Проведём через прямую . По первой теореме п. из следует . По определению перпендикулярных скрещивающихся прямых угол между и равен ; следовательно, пересекающиеся в прямые и перпендикулярны.
По задаче любая прямая через точку прямой , перпендикулярная , лежит в плоскости . Значит, . Поскольку , плоскость также перпендикулярна по первой теореме п. . Первая искомая плоскость получена.
Теперь поменяем и местами. Выберем точку , проведём через неё плоскость и прямую . Взаимная перпендикулярность даёт , а задача — . Следовательно, через тоже проходит плоскость, перпендикулярная другой прямой. Оба утверждения доказаны.
