№ Прямая, параллельная плоскости
Прямая a перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b∥α.
Решение
Дано: , , . Доказать: .
Выберем точку прямой и проведём через неё прямую . По первой теореме п. . Так как и , по лемме о перпендикулярности параллельных прямых получаем .
Пересекающиеся прямые и задают плоскость . Пусть . Точка пересечения принадлежит . По определению имеем .
Итак, в одной плоскости прямые и обе перпендикулярны . По признаку параллельности прямых в плоскости (они не совпадают, поскольку ). Прямая лежит в , а не пересекает её и не пересекает , ведь любая общая точка и принадлежала бы .
По определению параллельности прямой и плоскости . Что и требовалось доказать.
