№ Все перпендикуляры к прямой через её точку
Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку M прямой a и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку M и перпендикулярной к прямой a.
Решение
Дано: , , ; прямая проходит через и . Доказать: .
Через точку и прямую проведём плоскость , содержащую также : пересекающиеся прямые и определяют плоскость. Пересечение с — некоторая прямая , проходящая через .
Поскольку , по определению . По условию . Таким образом, в одной плоскости через точку проведены две прямые и , перпендикулярные к одной прямой .
В плоскости через точку прямой можно провести к ней только один перпендикуляр. Значит, . Но как линия пересечения плоскостей. Следовательно, .
Так как была произвольной прямой через , доказано утверждение для всех таких перпендикуляров.
Ответ
Все прямые через , перпендикулярные , лежат в плоскости , проходящей через .
