№ Перпендикулярность ребра плоскости
В тетраэдре ABCD точка M — середина ребра BC, AB=AC, DB=DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой BC.
Решение
Дано: , , . Доказать: .
В треугольнике стороны и равны, то есть он равнобедренный с основанием . Поскольку — середина , отрезок — медиана к основанию. По свойству равнобедренного треугольника такая медиана является высотой, поэтому .
В треугольнике стороны и тоже равны. Тот же отрезок — медиана к его основанию и, следовательно, высота: .
Прямые и лежат в плоскости и пересекаются в точке . Прямая перпендикулярна обеим. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости (п. ) .
Требуемое утверждение доказано.
