№ Множество решений неравенства с окружностями (|x|, |y| под знаком модуля)
Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:
а) x2+y2−6∣x∣+2y⩽−1;
б) x2+y2−6x+2∣y∣⩽−1.
Решение
а) Рассмотрим случаи по знаку .
При () неравенство принимает вид . Выделим полные квадраты
, то есть —
круг радиуса с центром ; он весь лежит в полуплоскости (касается оси в точке ), поэтому условие не отбрасывает ни одной его точки.
При () аналогично получаем — круг радиуса с центром , тоже лежащий целиком в своей полуплоскости и касающийся оси в той же точке .
Значит множество решений — объединение двух кругов радиуса с центрами и , касающихся друг друга в точке .
б) Теперь разбираем случаи по знаку .
При () получаем , то есть — тот же круг с центром , что и выше, но теперь берём только его часть с (верхнюю "шапочку", от до вершины круга ).
При () получаем , то есть — круг с центром , берём его нижнюю часть (, от вершины до ).
При обе части дают одинаковую границу , то есть , — куски стыкуются без разрыва. Получается фигура в форме листа (пересечение двух кругов), с крайними точками и .
Ответ
а) Объединение двух кругов радиуса с центрами и , касающихся в точке .
б) Фигура в форме листа — пересечение кругов радиуса с центрами и , крайние точки и .
Помогло?
Нет твоего задания?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.
