ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 613

№

Произведение сумм двух квадратов

С помощью равенства $(m+ni)(m-ni)=m^2+n^2$ доказать, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма квадратов двух целых чисел, является также суммой квадратов двух целых чисел.

Решение

Пусть первое число равно , второе — , где целые.
По данному равенству и .
Переставим множители по переместительному и сочетательному законам: .
Раскроем первую пару скобок, используя : . Вторая пара сопряжена первой и равна .
Применим данное равенство ещё раз: .
Числа и целые как суммы и произведения целых чисел. Значит, произведение действительно представлено суммой квадратов двух целых чисел.

Ответ

, где оба числа в скобках целые.

Помогло?

Номер 613