ГДЗ Алгебра 10-11 класс Алимов, номер 892

№

Касательная к гиперболе

Прямая касается гиперболы $y = \frac{k}{x}$ , где $k > 0$ , в точке с абсциссой $x_0$ .

Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания. Найти эту площадь.
Доказать, что эта касательная проходит через точки $\left(x_0; \frac{2k}{x_0}\right)$ и $(2x_0; 0)$ .

Решение

Пусть . Тогда , , . Уравнение касательной:

Пересечение с осью (): , точка .
Пересечение с осью (): , откуда , точка .
Треугольник с вершинами в начале координат и этих двух точках прямоугольный, катеты и :

Результат не содержит , то есть не зависит от точки касания.
Проверка точки : при получаем , то есть касательная проходит через .
Ордината касательная принимает при : . Значит, касательная проходит через точку . При ордината касательной равна — это сама точка касания.

💡 Почему так

В условии п. у второй точки, по-видимому, опечатка: напечатано , а касательная проходит через точку (точка пересечения с осью ); при ордината касательной равна .

Ответ

кв. ед., не зависит от ;
касательная проходит через и через .

Помогло?

Номер 892 ГДЗ Алгебра 10–11 класс, Алимов 2023, страница 260