ГДЗ Алгебра 10-11 класс Алимов, номер 826

№

Знак производной

Выяснить, при каких значениях $x$ производная функции принимает отрицательные значения:

$y = (5 - 3x)^{4}(3x - 1)^{3}$ ;
$y = (2x - 3)^{2}(3 - 2x)^{3}$ ;
$y = \dfrac{3x^{2} - 1}{1 - 2x}$ ;
$y = \dfrac{3x^{3}}{1 - 3x}$ .

Решение

По правилу произведения и сложной функции:

Вынесем :

Множитель и равен нулю только при (тогда , а не меньше нуля). Куб имеет тот же знак, что . Поэтому , когда и . Это произведение равно , оно отрицательно между корнями:

. Точка в этот промежуток не входит.

. Тогда

Четвёртая степень неотрицательна и равна нулю только при , поэтому при .
.
У квадратного трёхчлена дискриминант и старший коэффициент положителен, значит, он всегда положителен. Знаменатель положителен при . Следовательно, при всех .
.
Множители и положительны при , , поэтому знак определяется множителем , т. е. (эта область не содержит и ).

💡 Почему так

Чётные степени (квадраты) не меняют знак выражения, поэтому важны только нечётные множители; точки, где квадратный множитель равен нулю, исключаем отдельно.

Ответ

;
;
;
.

Помогло?

Номер 826 ГДЗ Алгебра 10–11 класс, Алимов 2023, страница 245