ГДЗ Алгебра 10-11 класс Алимов, номер 365

№

Логарифмические и показательные неравенства повышенной сложности

Решить неравенство:

$\frac{1}{5 - \lg x} + \frac{2}{1 + \lg x} < 1$ ;
$\log_3 (2 - 3^{-x}) < x + 1 - \log_3 4$ ;
$\log_{x^2 - 3} (4x + 7) > 0$ ;
$\log_{\genfrac{}{}{}{}{x - 1}{5x - 6}} (\sqrt{6} - 2x) < 0$ .

Решение

Область определения: , , . Пусть . Переносим влево и приводим к общему знаменателю:

Числитель: . Знаменатель , поэтому после смены знака

Нули: . Методом интервалов (справа знак «+», далее чередуем): , , . Возвращаемся к (функция возрастает): , , .
Область определения: , то есть , , . Правую часть запишем одним логарифмом: . Основание : . Пусть , тогда : . Умножаем на : , . Дискриминант , корни : и . Значит или . Область определения: , то есть . Итого или , откуда или .
Область определения: основание , и , то есть , , .
Случай а) основание больше : , . Логарифм положителен, когда , . С учётом получаем .
Случай б) основание между и : . Логарифм положителен, когда , то есть . С учётом (так как ) получаем (ведь ).
Итог: или .
Область определения: , ; основание (то есть или ) и .
Случай а) : , то есть . Тогда логарифм отрицателен при , то есть — это выполнено. С учётом : .
Случай б) : или . Логарифм отрицателен при , то есть . Условию удовлетворяют (и это меньше ); значения не подходят, так как .
Итог: или .

Рисунок показывает решение относительно .

Ответ

, , ;
, ;
, ;
, .

Помогло?

Номер 365 ГДЗ Алгебра 10–11 класс, Алимов 2023, страница 112