№
Не решая уравнений, выяснить, равносильны ли они:
- и ;
- и .
Решение
Уравнения равносильны, если множества их корней совпадают.
-
Показательная функция
принимает каждое значение ровно один раз (она монотонна), поэтому выполняется тогда и только тогда, когда показатели равны: . Значит, уравнения имеют одни и те же корни — равносильны. -
По определению логарифма
тогда и только тогда, когда (при этом , логарифм определён). Для получаем тогда и только тогда, когда . Значит, уравнения равносильны.
Ответ
- да;
- да.
Помогло?
