Найти точки экстремума функции:
- ;
- ;
- ;
- .
Находим производную, стационарные точки и смотрим, меняет ли производная знак.
- Область определения:
, . Тогда
Приравниваем к нулю:, , .
Определяем знак:равносильно , то есть , то есть . Поэтому при производная положительна, а при отрицательна.
Знак меняется с «+» на «−», значит,
-
Степень с дробным показателем определена при
, то есть . Производная
Приона положительна и в нуль не обращается; при — конец области определения. Значит, функция возрастает на , стационарных точек нет, точек экстремума нет. -
. Из : , , откуда , .
Знак:при и при . Вблизи точки (где ): левее (косинус убывает на ), ; правее , . Знак меняется с «−» на «+» — это точки минимума.
Вблизи точки(где ): левее , ; правее , . Знак меняется с «+» на «−» — это точки максимума. -
. Так как , то и при всех . Производная обращается в нуль лишь в отдельных точках ( ), но знака не меняет (везде ). Функция убывает на всей прямой, точек экстремума нет.
Если производная в стационарной точке не меняет знак, экстремума нет — функция продолжает монотонно возрастать или убывать.
— точка максимума; - точек экстремума нет;
— точки минимума, — точки максимума, ; - точек экстремума нет.
