ГДЗ Алгебра 10-11 класс Алимов, номер 355

№

Простейшие логарифмические неравенства

Решить неравенство:

$\log_3 (x + 2) < 3$ ;
$\log_8 (4 - 2x) \geqslant 2$ ;
$\log_3 (x + 1) < -2$ ;
$\log_{\genfrac{}{}{}{}{1}{3}} (x - 1) \geqslant -2$ ;
$\log_{\genfrac{}{}{}{}{1}{5}} (4 - 3x) \geqslant -1$ ;
$\log_{\genfrac{}{}{}{}{2}{3}} (2 - 5x) < -2$ .

Решение

Схема: записываем правую часть как логарифм по тому же основанию (), затем используем монотонность логарифмической функции: при она возрастает, знак неравенства сохраняется; при она убывает, знак меняется на противоположный. Обязательно учитываем область определения: аргумент .

, поэтому . Основание , значит . Вычитаем : .
, поэтому . Основание : (условие при этом выполнено автоматически). Тогда , делим на и меняем знак: .
. Основание : , откуда .
. Основание — знак меняется: , откуда .
. Основание : . Вычитаем : . Делим на и меняем знаки неравенств: .
. Основание : и (знак перевернулся, поэтому условие уже входит). Тогда , , то есть .

💡 Почему так

: при знак сохраняется, при меняется; всегда добавляется условие положительности аргументов.

Ответ

;
;
;
;
;
.

Помогло?

Номер 355 ГДЗ Алгебра 10–11 класс, Алимов 2023, страница 111