ГДЗ по алгебре 10-11 класс Алимов, номер 191

№

Иррациональные неравенства с параметром

При различных значениях $a$ решить неравенство:

$\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 6} < a$ ;
$2x + \sqrt{a^2 - x^2} > 0$ .

Решение

ОДЗ: . Обозначим . Это сумма двух возрастающих функций, поэтому возрастает на , и наименьшее значение .
Если , то при всех из ОДЗ — решений нет.
Если , найдём , при котором . Так как , то по формуле разности квадратов , откуда . Складываем с равенством : , , ,

(При это даёт .) Так как возрастает, неравенство выполняется при .
ОДЗ: , т. е. . Неравенство перепишем: .
Если : ОДЗ даёт только , и неравенство неверно. Решений нет.
Пусть .
а) , т. е. : правая часть отрицательна, неравенство верно на всей ОДЗ: .
б) : — верно.
в) : обе части положительны, возводим в квадрат: , , , т. е. (это в ОДЗ, так как ).
Объединяем: .

💡 Почему так

В первом неравенстве использована монотонность: сумма возрастающих функций возрастает, поэтому множество решений — промежуток от начала ОДЗ до точки, где левая часть равна .

Ответ

при решений нет; при : ;
при : ; при решений нет.

Помогло?

Номер 191