В многогранниках на рисунках постройте сечение… (геометрия)

Упр. Сечение многогранника плоскостью, параллельной прямой

В многогранниках на рисунках постройте сечение плоскостью, проходящей через отмеченные точки параллельно выделенной прямой.

а) тетраэдр $S A B C$ , отмечены точки $M$ и $N$ , выделена прямая $S A$ .
б) куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , отмечены точки $A_{1}$ и $M$ , выделена прямая $B C_{1}$ .
в) куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , отмечены точки $N$ и $M$ , выделена прямая $A B_{1}$ .
г) пирамида $S A B C D$ , отмечены точки $M$ и $C$ .

Решение

Опорный факт: если плоскость параллельна прямой , а другая плоскость содержит и пересекает , то линия пересечения параллельна .

На рисунке г) выделенная прямая видна плохо. Я считал выделенной ребро .

а) По рисунку — середина , — середина .

Плоскость содержит и точку . Проводим в ней , . По теореме Фалеса — середина .

и лежат в грани , соединяем .
и лежат в грани , соединяем .
— средняя линия треугольника , поэтому . — средняя линия треугольника , поэтому . Значит, плоскость параллельна плоскости и действительно параллельна .

Сечение — треугольник .

б) По рисунку — середина .

и лежат в плоскости верхнего основания. Продолжаем их до пересечения в точке . Треугольники и равны, поэтому .

лежит в плоскости , которая содержит . Проводим в этой плоскости . — параллелограмм, поэтому прямая проходит через вершину .
Соединяем и (грань ).
Плоскости оснований параллельны, поэтому , где . Параллелограмм показывает, что — середина .
Соединяем и (грань ).

Сечение — параллелограмм .

в) По рисунку — середина , а лежит на ребре . Выделена диагональ грани .

Точки и лежат в верхней грани, соединяем .

Плоскость содержит . В ней проводим , . — средняя линия треугольника , поэтому — середина .
и лежат в грани , соединяем .

Остальных граней плоскость не пересекает. Сечение — треугольник .

г) По рисунку лежит на ребре , а — вершина основания.

В плоскости (она содержит ) проводим , .

и лежат в грани , соединяем .
и лежат в плоскости основания, соединяем .

Сечение — треугольник . Он отсекает от пирамиды угол при вершине . Так как , плоскость сечения параллельна .

💡 Почему так

Плоскость, параллельная прямой , пересекает любую плоскость, содержащую , по прямой, параллельной . Поэтому в каждой такой плоскости нужная сторона сечения проводится параллельно выделенной прямой.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) треугольник , где — середина ().
б) параллелограмм , где — середина (, , ).
в) треугольник , где — середина ().
г) треугольник , где и .

Помогло?

В многогранниках на рисунках постройте сечение плоскостью, проходящей через…