Вне плоскости α расположен треугольник ABC, у… (геометрия)

К-, вариант , № Параллельность плоскостей, параллелограмм

⚠️

Задание из контрольной К- (вариант ) обрезано внизу фото, условие не видно, поэтому оно не решено. Чтобы его решить, пришлите фото ближе и крупнее, лучше – задания на фото.

Вне плоскости α расположен треугольник ABC, у которого медианы AA_1 и BB_1 параллельны плоскости α. Через вершины B и C треугольника проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α соответственно в точках E и F. Докажите, что ECBF — параллелограмм.

Решение

Медианы AA_ и BB_ лежат в плоскости ABC и пересекаются в точке пересечения медиан. Обе параллельны плоскости α. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Значит, .
Параллельные прямые BE и CF задают плоскость β. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости ABC и α по прямым BC и EF.
Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны, поэтому .
Также по условию. В четырёхугольнике ECBF противоположные стороны попарно параллельны (, ), значит, это параллелограмм. Что и требовалось доказать.

💡 Почему так

Две пересекающиеся прямые, параллельные другой плоскости, задают плоскость, параллельную ей. Параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым.

Ответ

Доказано: , поэтому , а по условию, значит, ECBF — параллелограмм.

К-, вариант , № Взаимное расположение прямых между параллельными плоскостями

Плоскости α и β параллельны (рис. 76). Прямая a пересекает плоскости α и β соответственно в точках A и B, а прямая b — в точках C и D. Найдите взаимное расположение прямых a и b. Поясните.

Решение

На рисунке прямые a и b изображены параллельными, поэтому они лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым AC и BD, то есть .

Также . Значит, ABDC — параллелограмм, и .

Если прямые a и b не параллельны, то по условию (в рисунке) данных для их пересечения нет, поэтому они скрещивающиеся быть не могут при заданном расположении. Ответ: прямые a и b параллельны.

💡 Почему так

Плоскость, пересекающая две параллельные плоскости, даёт параллельные линии пересечения, поэтому отрезки между плоскостями равны.

Ответ

Прямые a и b параллельны (по рисунку), ABDC — параллелограмм.

К-, вариант , № Сечение параллелепипеда, периметр

Все грани параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ — квадраты со стороной a. Через середину ребра AD параллельно плоскости $D A_{1} B_{1}$ проведена плоскость. Найдите периметр сечения.

Решение

Все грани — квадраты, значит, это куб. Плоскость содержит и точку (сечение — прямоугольник). Пусть M — середина AD.

В грани ABCD плоскость пересекает её по DC. Секущая плоскость параллельна, поэтому она идёт через M параллельно DC и пересекает AB в точке P. Это середина AB, и .
В грани плоскость пересекает её по . Секущая плоскость идёт через M параллельно и пересекает в точке K. Это середина , и .
.
В грани проводим KL параллельно , где L — середина . Тогда и .

Сечение MPLK — прямоугольник со сторонами a и .

💡 Почему так

Параллельные плоскости пересекают грань по параллельным прямым, поэтому каждая сторона сечения параллельна соответствующей линии сечения плоскости .

Ответ

К-, вариант , № *Построение сечения тетраэдра

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки C и K параллельно прямой a (рис. 77).

Решение

Точка K лежит на ребре MB, прямая a лежит в плоскости α основания ABC.

Построение:

В плоскости ABC через точку C проводим прямую CN, параллельную a. Она пересекает ребро AB в точке N.
Прямая CN параллельна a, значит, секущая плоскость, содержащая CN, параллельна a.
Точки N и K лежат в грани MAB, соединяем их отрезком NK.
Соединяем K и C (обе точки в грани MBC).

Сечение — треугольник CNK. Его стороны: CN — в основании, NK — в грани MAB, CK — в грани MBC.

💡 Почему так

Плоскость параллельна прямой, если содержит прямую, параллельную ей. Поэтому через C проводим прямую, параллельную a, в плоскости основания.

Ответ

Сечение — треугольник CNK, где N — точка пересечения AB с прямой, проведённой через C параллельно a.

К-, вариант , № Расстояние от точки до прямой, теорема о трёх перпендикулярах

В треугольнике ABC AC = CB = 10 см, ∠A = 30°, BK — перпендикуляр к плоскости треугольника, равный $56$ см. Найдите расстояние от точки K до AC.

Решение

Треугольник ABC равнобедренный, , значит, .
Проведём , H лежит на продолжении AC за точку C. .
см.
BK перпендикулярна плоскости ABC, BH — проекция KH на эту плоскость, . По теореме о трёх перпендикулярах , значит, KH — искомое расстояние.
см.

💡 Почему так

По теореме о трёх перпендикулярах наклонная перпендикулярна прямой, если перпендикулярна ей её проекция.

Ответ

см

Помогло?

Вне плоскости α расположен треугольник ABC, у которого медианы AA₁ и BB₁…