Постройте сечение тетраэдра плоскостью… (геометрия)

№ Сечение тетраэдра плоскостью, параллельной двум прямым

⚠️

В задании решён только пункт а). Для пункта б) не видно, где на ребре лежит точка L: в условии нет отношения, поэтому площадь найти нельзя. Если пришлёте условие полностью или укажете положение L, найду площадь. В задании на рисунке не видно, на какой грани лежит K. Я предположил, что K лежит на грани AMC.

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку K, параллельно прямым AM и BC.

Решение

Предполагаем, что K лежит на грани AMC.

В грани AMC проводим через K прямую, параллельную AM. Она пересекает AC в точке P и MC в точке Q.
В плоскости ABC проводим через P прямую, параллельную BC. Она пересекает AB в точке R.
В плоскости MBC проводим через Q прямую, параллельную BC. Она пересекает MB в точке S.
Соединяем R и S. Эта точка лежит в грани ABM, и , так как плоскость параллельна AM.

Сечение — четырёхугольник . У него и , значит, это параллелограмм.

💡 Почему так

Если плоскость параллельна прямой, то она пересекает любую плоскость, проходящую через эту прямую, по прямой, параллельной ей.

Ответ

Сечение — параллелограмм , где , .

№ Построение сечения плоскостью KTL

MABC — тетраэдр. Точка T лежит в плоскости ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью KTL.

Решение

Точки K и L лежат на рёбрах MA и MC, а T — в основании ABC.

Прямая KL лежит в плоскости грани AMC и пересекает прямую AC в точке F.
Точки F и T лежат в плоскости ABC, поэтому проводим прямую FT. Она пересекает AB в точке N и BC в точке P.
Соединяем K с N (грань ABM) и L с P (грань MBC).

Сечение — четырёхугольник .

💡 Почему так

Прямая, лежащая в плоскости сечения, пересекает плоскость основания в точке, которая принадлежит и сечению, и основанию. След сечения на основании — прямая FT.

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , и — точки пересечения прямой с и .

№ Построение сечения плоскостью ACK

MABC — тетраэдр. Точка K лежит на отрезке MO. Постройте сечение тетраэдра плоскостью ACK.

Решение

Точка O лежит в плоскости ABC.

Проводим BO и находим H — точку пересечения BO с AC. Так H лежит в плоскости основания и принадлежит секущей плоскости.
Точки M, B, O, H лежат в одной плоскости MBH. В ней проводим HK и находим точку D, в которой HK пересекает MB.
Соединяем A с D и C с D.

Сечение — треугольник .

💡 Почему так

Плоскость ACK и плоскость MBH имеют общие точки H и K, поэтому пересекаются по прямой HK. Эта прямая выходит на ребро MB в точке D.

Ответ

Сечение — треугольник , где и .

№ Сечение, параллельное прямой AC

MABC — правильный тетраэдр, все рёбра равны 8, AK : KB = 1:3.
а) Постройте сечение, проходящее через точки K и L, параллельно прямой AC.
б) Найдите $S_{сеч .}$

Решение

а) Точка K лежит на ребре AB, L — на ребре MC.

В плоскости ABC проводим через K прямую, параллельную AC. Она пересекает BC в точке N.
В плоскости AMC проводим через L прямую, параллельную AC. Она пересекает MA в точке P.
Соединяем K с P и N с L.

Сечение — трапеция , у которой .

В пункте б) положение точки L на ребре MC не видно, поэтому площадь найти нельзя. Из подобия с коэффициентом получаем .

💡 Почему так

Плоскость, параллельная AC, пересекает грани ABC и AMC по прямым, параллельным AC.

Ответ

а) Трапеция , , .
б) Не решено: не видно положение точки L.

Помогло?

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку K, параллельно…