MABC — тетраэдр. Точка K лежит на отрезке MO… (геометрия)

№ Сечение тетраэдра плоскостью через три точки

$M A B C$ — тетраэдр. Точка $K$ лежит на отрезке $M O$ . Постройте сечение тетраэдра плоскостью $A C K$ . ( $O$ — точка в грани $A B C$ .)

Решение

Плоскость содержит прямую , значит, сечение содержит сторону в грани .
Проводим прямую в плоскости основания. Она пересекает в точке .
Точки , , лежат в одной плоскости вместе с и (так как ). В этой плоскости проводим прямую .
Прямая пересекает ребро в точке . Точка лежит в плоскости (на прямой ) и на ребре .
Соединяем с и с (лежат в гранях и ).

Сечение — треугольник .

💡 Почему так

Если две точки прямой лежат в секущей плоскости, то и вся прямая лежит в ней. Поэтому точку находим как пересечение вспомогательной прямой с ребром .

Ответ

Сечение — треугольник , где , .

№ Сечение правильного тетраэдра, параллельное ребру, и его площадь

$M A B C$ — правильный тетраэдр, все рёбра равны 8, $A K : K B = 1 : 3$ .
а) Постройте сечение, проходящее через точки $K$ и $L$ , параллельно прямой $A C$ .
б) Найдите $S_{сеч .}$ . ( $L$ — середина $M C$ , как отмечено на рисунке.)

Решение

а) Построение.

В грани проводим , .
В грани проводим , . Так как — середина , то — середина .
Соединяем с (грань ) и с (грань ). Сечение — четырёхугольник .

б) Площадь.

, . Из подобия и : , .
— средняя линия треугольника : . Значит, — основания трапеции.
В треугольнике : , , :
В треугольнике : , , , аналогично . Трапеция равнобедренная.
Высота: .

💡 Почему так

Если плоскость параллельна прямой , то в каждой грани, содержащей , она пересекает её по прямой, параллельной .

Ответ

а) сечение — равнобедренная трапеция ();
б) .

Помогло?

MABC — тетраэдр. Точка K лежит на отрезке MO. Постройте сечение тетраэдра…