Социологи неопровержимо доказали: любители булочек… (алгебра)

№ Логическая задача про правду и ложь

Социологи неопровержимо доказали: любители булочек всегда говорят правду, а любители пирожков — всегда врут. В некоторой компании у каждого спросили, что любит каждый из остальных. Было получено 36 ответов «булочки» и 36 ответов «пирожки». Сколько человек в этой компании могут любить булочки? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Решение

Пусть в компании человек, из них любят булочки. Каждый даёт ответ, поэтому всего ответов , откуда .

Любитель булочек говорит правду: про других любителей булочек отвечает «булочки» (таких ответов ), про любителей пирожков — «пирожки» ( ответов).

Любитель пирожков врёт: про любителей булочек отвечает «пирожки» ( ответов), про других любителей пирожков — «булочки» ( ответов).

Ответов «пирожки»:

Посчитаем точно: «пирожки» говорят любители булочек про любителей пирожков — раз, и любители пирожков про любителей булочек — раз. Всего

или .

Проверка ответов «булочки»: . При : . При : .

💡 Почему так

Каждый человек даёт ответ про каждого из остальных, поэтому всего ответов . Ответ «пирожки» получается, когда мнение о человеке и тип говорящего «не совпадают» по правде/лжи.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Высоты в остроугольном треугольнике

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A D$ и $B E$ , $H$ — точка их пересечения. Найдите градусную меру угла $A C B$ , если известно, что $B H = A C$ и угол $C A B$ равен $5 7^{\circ}$ .

Решение

Пусть — радиус описанной окружности. Расстояние от вершины до ортоцентра: . По теореме синусов .

Из получаем , то есть , .

Тогда

Треугольник остроугольный, условие выполнено.

💡 Почему так

В остроугольном треугольнике , а .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Значение функции

Функция $f (x)$ определена для каждого действительного числа $x$ , отличного от $0$ и $1$ . Известно, что $f (\frac{4 x + 3}{x - 1}) = \frac{3}{x}$ . Найдите $f (3)$ .

Решение

Нужно найти , при котором :

Тогда

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Геометрическая вероятность

Имеется квадратное поле со стороной $203$ метра. С какой скоростью нужно бежать из его центра по лучу, направление которого выбирается случайно, чтобы ровно через $4$ секунды с вероятностью $\frac{2}{3}$ оказаться в точке, находящейся на границе квадрата или вне его? Ответ выразите в метрах в секунду.

Решение

Половина стороны: . По симметрии достаточно рассмотреть угол между лучом и перпендикуляром к ближайшей стороне, . Расстояние от центра до границы вдоль луча равно .

Пробежим расстояние . Точка на границе или вне квадрата, если , то есть . Вероятность

\displaystyle {}=\frac{}{}\

Тогда

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Сумма векторов

Клетки доски $5 \times 8$ являются квадратами со стороной $41$ . Горизонтали доски пронумерованы числами от $1$ до $5$ , а вертикали буквами $a, b, c, d, e, f, g, h$ . Из центра клетки $b 1$ в центры всех остальных клеток построили $39$ векторов. Какую длину имеет сумма этих векторов?

Решение

Введём координаты в единицах клетки: центр клетки — , где (буквы ), . Клетка — точка . Вектор в клетку можно добавить и для самой (он нулевой), поэтому суммируем по всем клеткам.

Сумма по :

Длина в единицах клетки:

Умножаем на сторону клетки :

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Социологи неопровержимо доказали: любители булочек всегда говорят правду, а…