На рисунке изображён график функции y = a - kx + b.… (алгебра)

№ График функции с модулем

На рисунке изображён график функции $y = a - ∣ k x + b ∣$ .

Выберите те утверждения, которые могут быть верны:

$a > 0, k > 0, b > 0$
$a > 0, k > 0, b < 0$
$a > 0, k < 0, b > 0$
$a > 0, k < 0, b < 0$
$a < 0, k > 0, b > 0$
$a < 0, k > 0, b < 0$
$a < 0, k < 0, b > 0$
$a < 0, k < 0, b < 0$

Решение

График — «галочка» с вершиной вверх. Вершина находится в точке .

По рисунку вершина лежит выше оси , значит .

Вершина лежит левее оси , значит , то есть . Тогда и одного знака.

Подходят варианты: и .

Обе комбинации возможны, так как функции при и совпадают: .

Ответ

✓ dzmen.ru

Могут быть верны: и .

№ Арифметическая и геометрическая прогрессии

Числа $a, b, c$ образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа $b, c, 18$ — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом $a + b + c = 24$ .

а) Какие значения может принимать $b$ ? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

б) Какие значения может принимать $a$ ? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Решение

Пусть — разность арифметической прогрессии. Тогда , .

, значит .

Свойство геометрической прогрессии: , значит или .

Если , то и .

Проверка: — арифметическая прогрессия, — геометрическая со знаменателем . Сумма .

Ответ

✓ dzmen.ru

а)
б) и

№ Вероятность на окружности

На окружности отмечены 20 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 20. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?

Решение

Всего треугольников: .

Чётных номеров и нечётных . Благоприятных треугольников: .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Точные квадраты

Найдите все натуральные числа $n$ , для которых оба числа $n + 12$ и $n + 45$ являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Решение

Пусть и , где — натуральные числа и .

Вычтем: , то есть .

Так как , возможны два случая.

, . Тогда , и .
, . Тогда , и .

Проверка: при получаем и . При получаем и .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Биссектриса и перпендикулярная прямая

В треугольнике $A B C$ со сторонами $A B = 3$ и $A C = 4$ провели биссектрису $A D$ . Прямая, проходящая через точку $D$ перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые $A B$ и $A C$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Найдите $E C - F B$ .

Решение

Прямая , а — биссектриса угла . Значит, в треугольнике отрезок является и биссектрисой, и высотой, поэтому .

Найдём через площади. Пусть угол равен . Тогда

В прямоугольном треугольнике угол равен , поэтому

Так как , точка лежит за точкой :

Так как , точка лежит на стороне :

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Рекуррентная последовательность

Последовательность задана условиями $a_{1} = 2$ , $a_{n + 1} = \frac{a _{n} - 1}{a _{n} + 1}$ при всех натуральных $n$ .

а) Найдите $a_{2026}$ .

б) Найдите сумму первых 2026 членов последовательности.

Решение

Вычислим первые члены:

Последовательность периодична с периодом : .

а) , поэтому .

б) Сумма одного периода: .

В членах уложено полных периодов и ещё два члена :

Ответ

✓ dzmen.ru

а)
б)

№ Игра с делителями

Имеется натуральное число $N$ . Алиса и Маруся по очереди выписывают на доску различные натуральные числа по следующему правилу: каждое выписанное число должно быть делителем $N$ и при этом быть взаимно просто со всеми числами, уже выписанными на доску. Алиса ходит первой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько существует натуральных чисел $N$ , не больших 100, таких, что Маруся имеет возможность выиграть независимо от действий Алисы?

Решение

Число — делитель и взаимно просто с любым числом, поэтому его можно выписать один раз. Остальные выписанные числа попарно взаимно просты, то есть используют непересекающиеся наборы простых делителей . За один ход можно взять любой непустой набор ещё не занятых простых.

Пусть у ровно различных простых делителей. Состояние игры: сколько простых осталось и выписана ли единица. Определим, кто выигрывает.

Нет простых, единица ещё не выписана: ходящий выигрывает (пишет ).
Нет простых, единица выписана: ходящий проигрывает.
Есть простые, единица выписана: ходящий забирает все простые сразу и выигрывает.
Один простой, единица не выписана: ходящий проигрывает. Если он пишет , соперник берёт простое. Если он берёт простое, соперник пишет .
Два и больше простых, единица не выписана: ходящий берёт все простые, кроме одного. Соперник попадает в проигрышное состояние, значит, ходящий выигрывает.

Алиса ходит первой. Она выигрывает при (то есть ) и при . При Алиса проигрывает, то есть выигрывает Маруся.

Значит, нужны , являющиеся степенью простого числа (с показателем не меньше ).

Простые: штук.
Квадраты простых: — штуки.
Кубы простых: — штуки.
Четвёртые степени: — штуки.
Пятая степень: — штука.
Шестая степень: — штука.

Итого: .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Углы в окружностях

Точки $A, B, C, D$ и $E$ последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой окружности.

Точки $E, F, G, H, I$ и $A$ последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой другой окружности с центром $C$ . Известно, что угол $A B D$ больше угла $A H G$ на $12°$ . Найдите градусную меру угла $B A G$ .

Решение

Пусть дуга между соседними точками первой окружности равна , а второй (центр ) равна .

Угол вписанный и опирается на дугу , не содержащую . Её мера , поэтому

Угол вписанный во вторую окружность и опирается на дугу , не содержащую . Её мера , поэтому

Условие даёт , откуда .

Угол — вписанный в первую окружность: он опирается на дугу , не содержащую , мера которой . Одновременно это центральный угол второй окружности, опирающийся на равных дуг:

Подставим :

Теперь .

— вписанный, опирается на дугу , значит .

В равнобедренном треугольнике () центральный угол опирается на три дуги , то есть . Тогда

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?