На окружности отмечены 26 точек. Рядом с каждой… (алгебра)

№ Простые числа на отрезках между точками окружности

На окружности отмечены 26 точек. Рядом с каждой точкой записали натуральное число так, что все 26 записанных чисел различны. Две точки соединили отрезком, если отношение чисел, записанных рядом с этими точками, равно простому числу. На отрезках написали эти простые числа. Оказалось, что все написанные простые числа различны. Какое максимальное количество отрезков может быть проведено?

Решение

Рассмотрим точки как вершины графа, отрезки — как рёбра.

Циклов нет. Допустим, есть цикл. Обойдём его: каждый шаг умножает число на простое или делит на него, а после полного обхода мы возвращаемся к исходному числу. Значит, произведение этих простых чисел в степенях равно . Все простые на отрезках различны, поэтому по единственности разложения на простые множители это невозможно.

Граф без циклов на вершинах — лес, в нём не больше рёбер.

Пример на отрезков. Возьмём числа

(каждое следующее получается умножением на очередное простое число). Всего возьмём чисел, они различны. Соседние числа соединим отрезками, на них будут написаны различных простых чисел . Условие выполнено.

💡 Почему так

Цикл дал бы равенство произведения различных простых чисел в степенях единице, а это противоречит единственности разложения на простые множители. Поэтому граф — лес, и рёбер не больше .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Сумма векторов из центра клетки

Клетки доски $5 \times 8$ являются квадратами со стороной $29$ . Горизонтали доски пронумерованы числами от 1 до 5, а вертикали буквами a, b, c, d, e, f, g, h. Из центра клетки b2 в центры всех остальных клеток построили 39 векторов. Какую длину имеет сумма этих векторов?

Решение

Измеряем координаты в длинах стороны клетки. Центр клетки b — точка (b — второй столбец, строка ).

Вектор в саму клетку b нулевой, поэтому можно считать, что векторы проведены во все клеток. Тогда сумма равна

Центр доски: по горизонтали , по вертикали .

Разность центра доски и b: .

Сумма векторов: в единицах стороны клетки.

Длина в этих единицах:

Умножаем на сторону клетки:

💡 Почему так

Сумма векторов из точки во все точки равна раз вектору из в центр масс этих точек; центр масс центров клеток — центр доски.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Высоты остроугольного треугольника

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A D$ и $B E$ , $H$ — точка их пересечения. Найдите градусную меру угла $A C B$ , если известно, что $B H = A C$ и угол $C A B$ равен $5 7^{\circ}$ .

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник (): , значит .

В треугольниках и (оба прямоугольные, ): , , то есть эти углы равны.

Также как вертикальные; в треугольнике : , .

Рассмотрим треугольники и : , , и — гипотенузы. Это даёт не , поэтому используем напрямую через треугольники и .

Прямоугольные треугольники и : , , гипотенузы . Значит, по гипотенузе и острому углу, откуда .

Треугольник — прямоугольный равнобедренный, поэтому .

💡 Почему так

Равенство гипотенуз и острых углов даёт равенство треугольников и , откуда и .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Рыцари и лжецы: любители булочек и пирожков

Социологи неопровержимо доказали: любители булочек всегда говорят правду, а любители пирожков — всегда врут. В некоторой компании у каждого спросили, что любит каждый из остальных. Было получено 58 ответов «булочки» и 32 ответа «пирожки». Сколько человек в этой компании могут любить булочки? Укажите все подходящие варианты.

Решение

Пусть человек любят булочки, — пирожки, всего человек.

Ответы «пирожки» дают:

любитель булочек говорит правду и про каждого любителя пирожков: ответов;
любитель пирожков врёт и про каждого любителя булочек: ответов.

Всего , откуда .

Ответы «булочки»: , то есть .

Всего ответов , откуда , .

Тогда , . По теореме Виета и — корни уравнения , то есть и .

Проверка: , : «булочки» . , : . Оба варианта подходят.

💡 Почему так

Каждый отвечает про человек, всего ответов; «пирожки» говорят правдивые про любителей пирожков и лжецы про любителей булочек.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

На окружности отмечены 26 точек. Рядом с каждой точкой записали натуральное…