В кружке 30 учеников. На занятие пришло больше… (алгебра)

№ Раздача карточек

В кружке 30 учеников. На занятие пришло больше половины из них. Учитель приготовил 90 белых и 130 цветных карточек. Карточки каждого вида раздали пришедшим поровну, причём осталось 6 белых и 4 цветные карточки. Сколько учеников пропустило занятие?

Решение

Пусть пришло учеников, .
Раздали белые и цветных карточек. Оба числа делятся на , значит, — общий делитель и .

Делители : , , , , , , , . Условию подходит только .
Остатки и меньше , так что всё сходится.
Пропустили: .

Ответ

✓ dzmen.ru

учеников

№ Углы в равнобедренных треугольниках

На стороне $B C$ треугольника $A B C$ выбрана точка $D$ , отличная от $B$ и $C$ , причём $A B = A D = D C$ . Известно, что $∠ B A C = 10 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A B C$ .

Решение

Пусть .
Треугольник равнобедренный (), поэтому .
— внешний угол треугольника , поэтому .
Треугольник равнобедренный (), поэтому .
Сумма углов треугольника :

💡 Почему так

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Ходы короля по доске

Король начал в клетке $A$ доски $4 \times 6$ и закончил в противоположной угловой клетке $B$ , побывав в каждой клетке ровно один раз. При этом диагональные ходы чередовались с недиагональными. Сколько диагональных ходов сделал король?

Решение

В доске клетки, поэтому ходов . Раскрасим доску в шахматном порядке.
Диагональный ход сохраняет цвет клетки, недиагональный (на соседнюю по стороне) меняет его.
Клетки и — противоположные углы доски . Если , то , суммы координат и чётные. Значит, и одного цвета, и недиагональных ходов было чётное число.
Ходы чередуются, поэтому диагональных и недиагональных ходов и в каком-то порядке. Чётно число , значит, недиагональных , а диагональных .

Ответ

✓ dzmen.ru

диагональных ходов

№ Числа в квадрате ×

В клетки квадрата $3 \times 3$ вписали числа от 1 до 9, использовав каждое ровно один раз. Суммы чисел в средней строке, среднем столбце и на каждой из двух диагоналей одинаковы. Какие числа могут стоять в центральной клетке?

Решение

Пусть в центре стоит , а общая сумма равна .
Четыре линии (средняя строка, средний столбец и две диагонали) проходят через центр. Вместе они покрывают все клеток, причём центр — раза, остальные по одному разу:

Значит, делится на , то есть , . Подходят .
Проверим, что каждое значение возможно. Остальные чисел должны разбиваться на пары с суммой :

: , пары с суммой : (,), (,), (,), (,);
: , пары с суммой : (,), (,), (,), (,);
: , пары с суммой : (,), (,), (,), (,).

Каждую пару ставим на свою линию симметрично относительно центра — квадрат получается.

Ответ

✓ dzmen.ru

, или

№ Цифры числа

У некоторого трёхзначного числа поменяли местами первую и последнюю цифры и сложили полученное число с исходным. Получилось четырёхзначное число, начинающееся на 104. Какова его последняя цифра?

Решение

Пусть число . Сумма равна

Она лежит в промежутке от до . Пусть .

: сумма не больше , мало.
: сумма не меньше , много.
: равно или , в промежуток не попадает.
: , при получаем .

Сумма равна , её последняя цифра . Например, .

Ответ

✓ dzmen.ru

(сумма равна )

№ Равенство степеней тройки

Натуральные числа $a, b, c, d$ удовлетворяют равенству $3^{a} + 3^{b} + 3^{c} = 3^{d}$ . Докажите, что $a = b = c = d - 1$ .

Решение

Пусть без ограничения общности . Разделим равенство на :

Левая часть больше , поэтому и правая часть делится на .
Если , то и , и два последних слагаемых слева делятся на . Тогда левая часть даёт остаток при делении на , а правая — . Противоречие, значит .
Тогда . Если , то левая часть даёт остаток , а правая — . Противоречие, значит .
Остаётся , откуда .
Итак, .

Ответ

✓ dzmen.ru

Доказано: .

№ Четырёхугольник с равными диагоналями

В выпуклом четырёхугольнике $A B C D$ диагонали равны, $∠ B A D = ∠ C D A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 4$ и $C D = 9$ . Найдите $A D$ .

Решение

Пусть , диагонали .
Теорема косинусов в треугольнике :

Теорема косинусов в треугольнике :

Приравниваем:

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Закрашенные клетки таблицы

В таблице $6 \times 6$ некоторые клетки закрашены. Известно, что существует ровно один способ выбрать шесть закрашенных клеток — по одной в каждой строке и каждом столбце. Какое наибольшее число клеток может быть закрашено в такой таблице?

Решение

Пусть в таблице ровно один такой набор из клеток.
Лемма. Найдётся строка, в которой закрашена ровно одна клетка.
Допустим, в каждой строке закрашено хотя бы клетки. Начнём с любой строки и пойдём так: из строки идём по закрашенной клетке не из в её столбец, затем по клетке из в этом столбце попадаем в другую строку, и так далее. Строк конечное число, поэтому какая-то строка повторится. Получится цикл, в котором клетки из и не из чередуются. Заменив в нём клетки из на остальные, получим другой допустимый набор. Это противоречит единственности.
Оценка. Пусть строка содержит одну закрашенную клетку, она стоит в столбце . Вычеркнем строку и столбец . Вместе вычеркнуты не более закрашенных клеток (в столбце не больше , из них клетка строки уже учтена). Оставшаяся таблица по-прежнему имеет единственный набор, поэтому по индукции

Пример. Закрасим все клетки на диагонали и под ней (клетка закрашена при ). Всего клеток. Единственный набор — главная диагональ: в первой строке закрашена лишь клетка , во второй остаётся только и так далее.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

В кружке 30 учеников. На занятие пришло больше половины из них. Учитель…