Мяч отпустили с некоторой высоты. Он падает… (алгебра)

№ Геометрическая прогрессия: отскакивающий мяч

Мяч отпустили с некоторой высоты. Он падает вертикально вниз, затем отскакивает вверх на две трети своей предыдущей высоты, снова падает вниз, опять отскакивает на две трети и так далее. Когда мяч коснулся земли в третий раз, он пролетел суммарно $87$ метров.

С какой высоты его отпустили? Ответ выразите в метрах.

После какого по счёту отскока от земли высота подъёма окажется меньше $15$ метров?

Решение

Пусть мяч отпустили с высоты .

До первого касания мяч пролетел .

После первого отскока он поднялся на и упал на ту же высоту, это второе касание: путь .

После второго отскока он поднялся на и упал, это третье касание: путь .

Суммарный путь:

Высота подъёма после -го отскока равна :

: м, это больше ;
: м, это меньше .

Ответ

✓ dzmen.ru

м; после -го отскока.

№ Цифры числа и произведение цифр

Известно, что произведение всех цифр натурального числа $n$ , не содержащего в своей десятичной записи единиц, равно $378$ .

Найдите наибольшее возможное значение $n$ .

Найдите наименьшее возможное значение $n$ .

Решение

Разложим: . Цифр нет, поэтому каждая цифра не меньше .

Цифра нужна ровно одна, остальные цифры дают произведение .

Наибольшее. Нужно как можно больше цифр. Разбиваем на наибольшее число множителей, каждый не меньше : . Цифры: (пять цифр). Расставляем по убыванию: .

Наименьшее. Нужно как можно меньше цифр. Число не является цифрой, поэтому его надо разбить минимум на два однозначных множителя: . Цифры: (три цифры). Расставляем по возрастанию: .

Ответ

✓ dzmen.ru

наибольшее — ; наименьшее —

№ Максимальная сумма чисел на поле с минами

На клетчатом поле $10 \times 8$ располагают $13$ мин. После этого на каждой клетке без мины записывают число мин на соседних с ней клетках. Найдите максимальную возможную сумму чисел на доске.

Соседними считаем клетки, имеющие общую сторону или вершину, то есть у одной клетки может быть до $8$ соседей. Ниже приведён пример подобной доски размера $5 \times 5$ с $4$ минами.

Решение

Сумма чисел равна числу пар «мина — соседняя клетка без мины». Каждая мина даёт число своих соседей без мин.

Если у мины соседей и из них мины, она даёт . Тогда сумма не больше

Клетки с соседями образуют внутреннюю область . Попарно несоседние мины в ней можно расставить не более чем штук (через одну клетку по строке и столбцу). Значит, мин внутри без соседних пар не поставить, и либо будет хотя бы одна пара соседних мин, либо одна мина окажется на краю (там не более соседей).

Вариант с краем даёт не больше .

Вариант с одной парой внутри даёт . Пример: мин в клетках со столбцами и строками , и -я мина в столбце , строке . Она соседняя только с одной миной (из столбца , строки ).

Итого: .

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Мяч отпустили с некоторой высоты. Он падает вертикально вниз, затем отскакивает…