Решите в целых числах уравнение x+ 1y+ 1z= 114… (алгебра)

Уравнение в целых числах с цепной дробью

Решите в целых числах уравнение $x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{11}{4}$ . Здесь $x$ и произведение $y z$ положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.

Решение

Преобразуем: , поэтому

Так как , то , а и одного знака.

Случай : , . Дробь , значит , то есть или .

: , откуда , . При левая часть отрицательна, поэтому и . Получаем .
: , откуда , . При имеем , и — не подходит.

Случай : , . Дробь , значит . Дробь по модулю меньше , так как при . Поэтому и . Отсюда , . Тогда :

: , — подходит;
: — не подходит.

Получаем .
Проверка: .

Произведения: и .

Ответ

✓ dzmen.ru

— произведение ; — произведение .

Корни квадратных уравнений, теорема Виета

Ненулевые числа $a, b, c, d, p, q, r, t$ таковы, что каждое из квадратных уравнений $a x^{2} - p x + c = 0$ , $b x^{2} - q x + d = 0$ , $c x^{2} - r x + a = 0$ , $d x^{2} - t x + b = 0$ имеет по два положительных корня, образующих множество $K$ из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества $K$ равно 5, а сумма двух наименьших чисел множества $K$ равна $\frac{21}{20}$ . Найдите наименьший из этих восьми корней.

Решение

По теореме Виета произведения корней уравнений равны , , , . Произведение всех восьми корней:

Произведение шести наибольших равно , значит произведение двух наименьших равно .
Сумма двух наименьших равна , поэтому они — корни уравнения

, , то есть или .
Наименьший из корней равен .

Ответ

✓ dzmen.ru

Тетраэдр, средние линии, площади

Дана треугольная пирамида $A B C D$ . Середину ребра $A B$ соединили с серединами всех других рёбер, кроме $C D$ , и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 25. Найдите квадрат длины ребра $C D$ , если известно, что произведение площадей треугольников $C A D$ и $C B D$ равно 100, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без $A B$ и $C D$ равна 208.

Решение

Пусть — середина . Отрезки от к серединам , , , — средние линии треугольников и , они равны , , , . Тогда

Площади: , . Значит

По условию произведение равно , то есть достигается равенство: .
Тогда и . Складываем:

Ответ

✓ dzmen.ru

Траектория центра катящегося шестиугольника

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной $a$ прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами $35 a$ и $12 a$ (полностью), вернувшись в исходную позицию. Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что $a = \frac{1}{π}$ ?

Решение

Гипотенуза: , то есть . Периметр: .

Центр шестиугольника удалён от вершин на . Пока колесо катится по прямому участку, оно перекатывается с грани на грань, и центр движется по дугам окружности радиуса . Каждый поворот на даёт перемещение на длину стороны , то есть на прямом отрезке длиной делается поворотов на вокруг вершин. Центр описывает дуг по радиуса , длина каждой .

На прямых участках общая длина даёт дуги: .

В вершинах треугольника колесо поворачивается вокруг вершины на угол, равный внешнему углу треугольника плюс повороты, нужные для смены грани. Сумма внешних углов треугольника равна . Центр при перекатывании через вершину поворачивается вокруг неё вместе с колесом на угол, равный сумме внешних углов, то есть всего на на трёх вершинах. Длина этих дуг: .

Итого путь центра:

При : .

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Решите в целых числах уравнение x+ 1y+ 1z= 114. Здесь x и…