Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что… (алгебра)

№ Корни квадратных уравнений, теорема Виета

Ненулевые числа $a, b, c, d, p, q, r, t$ таковы, что каждое из квадратных уравнений $a x^{2} - p x + c = 0$ , $b x^{2} - q x + d = 0$ , $c x^{2} - r x + a = 0$ , $d x^{2} - t x + b = 0$ имеет по два положительных корня, образующих множество $K$ из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества $K$ равно 3, а сумма двух наименьших чисел множества $K$ равна $\frac{7}{6}$ . Найдите наименьший из этих восьми корней.

Решение

По теореме Виета произведения корней уравнений равны:

Тогда

Произведение всех восьми корней равно .

Произведение шести наибольших равно , поэтому произведение двух наименьших:

Их сумма . По теореме Виета и — корни уравнения

Два наименьших числа — это и , значит наименьший корень равен .

Такая ситуация возможна. Например, у первого уравнения корни и (произведение ), у третьего корни и (произведение ), а у второго и четвёртого все корни равны . Тогда произведение шести наибольших равно .

💡 Почему так

Из теоремы Виета произведение всех восьми корней равно . Поэтому произведение двух наименьших равно , а их сумма известна, и они находятся из квадратного уравнения.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?