Постройте точку пересечения прямой AB с… (геометрия)

№ (вариант )Точка пересечения прямой с плоскостью

Постройте точку пересечения прямой $A B$ с плоскостью $M N K$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка — на ребре . Значит, прямая лежит в плоскости грани .

Плоскости и пересекаются по прямой .

Проводим прямую .
Продолжаем ребро за точку .
Отмечаем точку .

Точка лежит на , то есть в плоскости , и на прямой . Значит, — искомая точка.

💡 Почему так

Если прямая лежит в плоскости , а искомая плоскость пересекает по прямой , то точка пересечения прямой с — это точка пересечения этой прямой с .

Ответ

(на продолжении ребра за точку ).

№ (вариант )Сечение тетраэдра

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $A$ , $B$ и $C$ ; $C \in (M N D)$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка — на ребре , точка — внутри грани .

и лежат в плоскости , поэтому — след сечения на этой грани.
и лежат в грани . Проводим прямую до пересечения с ребром в точке .
и лежат в грани . Соединяем и .

Сечение — треугольник .

💡 Почему так

Две точки одной грани соединяем отрезком. Прямая в грани пересекает её границу, поэтому продолжаем до ребра.

Ответ

Сечение — треугольник , где .

№ (вариант )Сечение тетраэдра

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $A$ , $B$ и $C$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка — на ребре , точка — на ребре .

и лежат в грани . Проводим и продолжаем её до пересечения с прямой : (за точкой ).
и лежат в плоскости основания . Проводим до пересечения с ребром : .
Соединяем и (грань ) и и (грань ).

Сечение — четырёхугольник .

💡 Почему так

След секущей плоскости на плоскости основания — прямая . Она задаёт точку на ребре .

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , .

№ (вариант )Точка пересечения прямой с плоскостью

Постройте точку пересечения прямой $A B$ с плоскостью $M D K$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка — на ребре . Значит, прямая лежит в плоскости грани .

Плоскости и пересекаются по прямой .

Проводим прямую .
Продолжаем ребро за точку .
Отмечаем точку .

Точка лежит на , то есть в плоскости , и на прямой . Значит, — искомая точка.

💡 Почему так

Прямая лежит в плоскости . Плоскость пересекает её по , поэтому искомая точка лежит на .

Ответ

(на продолжении ребра за точку ).

№ (вариант )Сечение тетраэдра

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $A$ , $B$ и $C$ ; $B \in (N D K)$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка — на ребре , точка — внутри грани .

и лежат в грани . Проводим прямую до пересечения с ребром в точке .
и лежат в грани . Соединяем их.
и лежат в грани . Соединяем их.

Сечение — треугольник .

💡 Почему так

Прямая в грани выходит на границу грани — на ребро . Это даёт третью вершину сечения.

Ответ

Сечение — треугольник , где .

№ (вариант )Сечение тетраэдра

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $A$ , $B$ и $C$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка — на ребре , точка — на ребре .

и лежат в грани . Проводим и продолжаем до пересечения с прямой : (за точкой ).
и лежат в плоскости основания . Проводим до пересечения с ребром : .
Соединяем и (грань ) и и (грань ).

Сечение — четырёхугольник .

💡 Почему так

След секущей плоскости на плоскости основания — прямая . Она задаёт точку на ребре .

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , .

Помогло?

Постройте точку пересечения прямой AB с плоскостью MNK.