Постройте точку пересечения прямой AB с… (геометрия)

№ Точка пересечения прямой с плоскостью

Постройте точку пересечения прямой $A B$ с плоскостью $M N D$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка — на ребре . Значит, прямая лежит в плоскости грани .

Плоскости и пересекаются по прямой .

Прямая и прямая лежат в одной плоскости и не параллельны. Поэтому они пересекаются.

Построение:

Проводим прямую .
Продолжаем ребро за точку .
Отмечаем точку .

Точка лежит на прямой , а она принадлежит плоскости . Значит, и .

💡 Почему так

Если прямая лежит в плоскости одной грани, ищем её пересечение с линией пересечения этой грани и данной плоскости. Здесь это прямая .

Ответ

Точка — пересечение прямой с прямой (на продолжении ребра за точку ).

№ Сечение тетраэдра плоскостью

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $A$ , $B$ и $C$ ; $B \in (N D K)$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка — на ребре , точка — в грани .

Точки и лежат в плоскости грани . Проводим прямую до пересечения с ребром и получаем точку .
Точки и лежат в плоскости грани . Соединяем их отрезком .
Точки и лежат в плоскости основания . Соединяем их отрезком .

Получили треугольник .

💡 Почему так

Сторона сечения строится в той грани, в которой лежат две её точки. Чтобы найти новую точку, продлеваем прямую до пересечения с ребром.

Ответ

Сечение — треугольник , где — точка пересечения прямой с ребром .

№ Сечение тетраэдра плоскостью

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $A$ , $B$ и $C$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка — на ребре , точка — на ребре .

Точки и лежат в грани . Проводим отрезок и продолжаем прямую до пересечения с прямой . Получаем точку .
Точки и лежат в плоскости основания . Проводим прямую . Она пересекает ребро в точке .
Точки и лежат в грани . Соединяем их отрезком .
Точки и лежат в грани . Соединяем их отрезком .

Получили четырёхугольник .

💡 Почему так

Прямая и прямая лежат в одной грани, поэтому пересекаются в точке . Эта точка принадлежит плоскости сечения и плоскости основания, поэтому через неё проходит след сечения на основании.

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , а .

Помогло?

Постройте точку пересечения прямой AB с плоскостью MND.