Постройте точки пересечения прямой MN с… (геометрия)

№ (вариант )Точки пересечения прямой с плоскостями

Постройте точки пересечения прямой $M N$ с плоскостями $A B C$ и $D D_{1} C_{1}$ .

Решение

На рисунке точка лежит на ребре , а точка — на ребре . Обе точки лежат в плоскости грани , значит, и вся прямая лежит в этой плоскости.

Плоскость пересекает плоскость по прямой . Продолжаем и до пересечения и получаем точку . Она лежит на прямой и на прямой из плоскости , поэтому .
Плоскость пересекает плоскость по прямой . Продолжаем и до пересечения и получаем точку . Она лежит на прямой и на прямой из плоскости , поэтому .

💡 Почему так

Если прямая лежит в плоскости грани, то её точка пересечения с другой плоскостью лежит на линии пересечения этих двух плоскостей.

Ответ

— точка пересечения с плоскостью ; — точка пересечения с плоскостью .

№ (вариант )Сечения куба по трём точкам

Постройте сечения, проходящие через указанные точки.

Решение

Первый рисунок: точки , и , где лежит на ребре .

Проводим (лежит в основании) и (лежит в грани ).

Так как , плоскость сечения пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной . Проводим через прямую , где .
Соединяем с (грань ).

Сечение — равнобедренная трапеция .

Второй рисунок: точки , , .

Прямая лежит в грани . Она пересекает прямую в точке и прямую в точке .
В плоскости верхней грани проводим . Она пересекает в точке и продолжение в точке .
В плоскости грани проводим . Она пересекает в точке и в точке .
Последовательно соединяем , , , , , .

Сечение — шестиугольник .

💡 Почему так

Сечение строят по следам: точки, лежащие в одной грани, соединяют, а недостающие точки находят пересечением прямой сечения с прямыми рёбер.

Ответ

Первый рисунок: трапеция , где , .
Второй рисунок: шестиугольник , где , , .

№ (вариант )Точки пересечения прямой с плоскостями

Постройте точки пересечения прямой $M N$ с плоскостями $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Решение

Плоскость пересекает плоскость по прямой . Продолжаем и до пересечения и получаем точку . Она лежит в плоскости , поэтому .
Плоскость пересекает плоскость по прямой . Продолжаем и до пересечения и получаем точку . Она лежит в плоскости , поэтому .

💡 Почему так

Прямая и линия пересечения плоскостей лежат в одной плоскости грани, поэтому они пересекаются, а точка пересечения принадлежит обеим плоскостям.

Ответ

— точка пересечения с плоскостью ; — точка пересечения с плоскостью .

№ (вариант )Сечения куба по трём точкам

Постройте сечения, проходящие через указанные точки.

Решение

Первый рисунок: точки , и , где лежит на ребре .

Проводим (грань ) и (основание).

Так как , плоскость сечения пересекает грань по прямой, параллельной . Проводим через прямую , где .
Соединяем с (грань ).

Сечение — трапеция .

Второй рисунок: точки , , .

Прямая лежит в плоскости основания. Она пересекает прямую в точке и прямую в точке .
Точки и лежат в плоскости грани . Проводим , она пересекает в точке .
Точки и лежат в плоскости грани . Проводим , она пересекает в точке .
Последовательно соединяем , , , , .

Сечение — пятиугольник .

💡 Почему так

Сначала находят точки пересечения прямой сечения в основании с продолжениями рёбер основания. Затем через них и заданную точку проводят прямые в боковых гранях.

Ответ

Первый рисунок: трапеция , где , .
Второй рисунок: пятиугольник , где , .

Помогло?

Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями ABC и DD₁C₁.