Постройте точки пересечения прямой MN с… (геометрия)

№ Точки пересечения прямой с плоскостями граней куба

Постройте точки пересечения прямой $M N$ с плоскостями $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Решение

По рисунку точка лежит на ребре , а точка лежит на ребре .

Обе точки лежат в плоскости грани , поэтому вся прямая лежит в этой плоскости.
Плоскость пересекает плоскость по прямой . Продолжаем и до пересечения. Получаем точку . Она лежит в плоскости , значит, это и есть точка пересечения с .
Плоскость пересекает плоскость по прямой . Продолжаем и до пересечения. Получаем точку . Она лежит в плоскости .

💡 Почему так

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в ней. Поэтому точку пересечения прямой с плоскостью основания ищут на линии пересечения плоскости грани с плоскостью основания.

Ответ

— точка пересечения с плоскостью ; — точка пересечения с плоскостью .

№ (верхний рисунок)Сечение куба плоскостью через точки A, C, M

Постройте сечения, проходящие через указанные точки.

Решение

Сечение проходит через точки , и . Точка лежит на ребре .

Точки и лежат в плоскости основания. Соединяем их: — сторона сечения (в основании).
Точки и лежат в грани . Соединяем их: — сторона сечения.
Плоскости оснований параллельны, поэтому секущая плоскость пересекает верхнее основание по прямой, параллельной , то есть параллельной . Проводим через прямую до пересечения с ребром в точке .
Соединяем с : лежит в грани .

Сечение — четырёхугольник (трапеция, ).

💡 Почему так

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны.

Ответ

Сечение — трапеция , где , .

№ (нижний рисунок)Сечение куба плоскостью через точки P, M, N

Постройте сечения, проходящие через указанные точки.

Решение

По рисунку точка лежит на ребре , точка на ребре , точка на ребре .

и лежат в плоскости основания. Соединяем их: — сторона сечения. Продолжаем до пересечения с прямой в точке .
Точки и лежат в плоскости грани . Прямая пересекает ребро в точке . Соединяем с (грань ) и с (грань ).
Плоскости оснований параллельны, поэтому в верхнем основании проводим через прямую до пересечения с ребром в точке .
Плоскости граней и параллельны, поэтому в грани проводим через прямую до пересечения с ребром в точке .
Соединяем и (грань ).

Сечение — шестиугольник .

💡 Почему так

Если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Это позволяет достроить сечение, не находя других точек пересечения прямых.

Ответ

Сечение — шестиугольник , где , , , , .

Помогло?

Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями ABC и A₁B₁C₁.