1. Постройте точку пересечения прямой MN с… (геометрия)

№ Точка пересечения прямой и плоскости

⚠️

На фото представлены задач по нахождению точек пересечения прямой и плоскости. Решены все задач первой страницы с чертежами. Задачи с листа (построение прямых пересечения плоскостей –) требуют отдельного подробного оформления; пришлите второй лист отдельным запросом крупным планом.

Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A_{1} B_{1} C_{1})$ .

Решение

Точки и лежат в плоскости задней грани , так как точка принадлежит отрезку , а — грани .
В плоскости грани проводим прямую до пересечения с прямой , лежащей в плоскости верхнего основания .
Точка — искомая точка пересечения прямой с плоскостью .

Ответ

Точка пересечения .

№ Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой $A_{1} M$ с плоскостью $(A B C)$ .

Решение

Точка лежит на грани (или отрезке ), прямая лежит в плоскости грани .
В плоскости продлеваем прямую до пересечения с прямой , принадлежащей основанию .
Точка — искомая точка пересечения с плоскостью .

Ответ

Точка пересечения .

№ Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой $C M$ с плоскостью $(A_{1} A B)$ .

Решение

Точка лежит на ребре (или грани ), точка также лежит в грани .
Прямая лежит в плоскости грани .
Прямая является линией пересечения плоскостей и .
Находим точку пересечения прямых в плоскости грани: . Точка лежит в плоскости .

Ответ

Точка пересечения .

№ Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ .

Решение

Прямая лежит в плоскости передней грани (или сечении).
Продлеваем прямую вниз до пересечения с прямой , лежащей в плоскости .
Точка является искомой точкой пересечения с плоскостью .

Ответ

Точка пересечения .

№ Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ .

Решение

Точки и лежат в плоскости боковой грани (или ).
Проводим прямую до пересечения с прямой , лежащей в плоскости .
Точка — искомая точка пересечения.

Ответ

Точка пересечения .

№ Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка лежит на ребре .
Проектируем точку на плоскость параллельно боковым рёбрам — получаем точку .
Прямая лежит в плоскости , которая пересекает по прямой .
Искомая точка: .

Ответ

Точка пересечения , где — проекция на нижнее основание.

№ Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка лежит на ребре .
Прямая целиком лежит в плоскости грани .
Плоскость пересекает плоскость по прямой .
В плоскости грани проводим прямую до пересечения с ребром (прямой) .
Точка — искомая.

Ответ

Точка пересечения .

№ Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B D)$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка лежит на ребре (в грани ).
Прямая лежит в плоскости грани .
Плоскости и пересекаются по ребру .
Продлеваем прямую до пересечения с прямой : .

Ответ

Точка пересечения .

№ Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(D C B)$ .

Решение

Точки и лежат в плоскости основания .
Прямая лежит в плоскости .
Плоскость основания пересекает грань по ребру .
В плоскости продолжаем прямую до пересечения с прямой : .

Ответ

Точка пересечения .

№

Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка лежит на ребре (или внутри грани ).
Прямая лежит в плоскости грани .
Плоскость грани пересекает плоскость основания по ребру .
Продлеваем прямую до пересечения с прямой : .

Ответ

Точка пересечения (или прямой ).

№

Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка лежит на ребре .
Прямая лежит в плоскости грани .
Плоскость пересекает плоскость основания по прямой .
Продлеваем прямую до пересечения с прямой : .

Ответ

Точка пересечения .

№

Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой $A_{1} N$ с плоскостью $(A B C)$ .

Решение

Точка лежит на ребре . Проведём диагональную плоскость .
Прямая лежит в диагональной плоскости .
Плоскость пересекает плоскость основания по прямой .
Продлеваем прямую до пересечения с прямой : .

Ответ

Точка пересечения .

№

Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ .

Решение

Точка лежит на верхнем ребре , точка лежит на грани (или ребре ).
Прямая лежит в плоскости задней грани (или соответствующем сечении).
Проектируем и на плоскость и находим пересечение прямой с плоскостью основания: . В данном случае , поэтому .

Ответ

Точка пересечения .

№

Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка лежит на ребре (или грани ).
Прямая лежит в плоскости, проходящей через и .
Опуская вертикаль из точки на плоскость основания (получаем ), получаем прямую в плоскости .
Точка пересечения: .

Ответ

Точка пересечения , где — проекция точки на плоскость основания.

№

Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ .

Решение

Точка лежит на верхнем ребре , точка лежит на боковом ребре (или ).
Находим след плоскости, содержащей прямую , на плоскости нижнего основания .
Если и , прямая лежит в плоскости передней грани , и пересечение находится как .
Если , проводим через плоскость, пересекающую по прямой, соединяющей проекции точек и , и находим точку пересечения с ней.

Ответ

Точка пересечения (в плоскости грани ).

Помогло?

1. Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью (A₁B₁C₁).