Задачи по стереометрии, часть 4. 1. Постройте… (геометрия)

Лист (Задачи –)Построение прямой пересечения плоскостей

Задачи по стереометрии, часть 4.

Постройте прямую пересечения плоскостей $(M N K)$ и $(A_{1} B_{1} C_{1})$ (призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ ; $M \in B B_{1}$ , $N \in C C_{1}$ , $K \in A_{1} B_{1}$ ).
Постройте прямую пересечения плоскостей $(A_{1} M N)$ и $(A B C)$ (призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ ; $M \in B B_{1}$ , $N \in A C$ ).
Постройте прямую пересечения плоскостей $(C M N)$ и $(A_{1} A B)$ (призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ ; $M \in A_{1} C_{1}$ , $N \in B B_{1}$ ).
Постройте прямую пересечения плоскостей $(M N K)$ и $(A B C)$ (призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ ; $N \in A_{1} B_{1}$ , $M \in C C_{1}$ , точка $K$ лежит на продолжении стороны $B C$ в плоскости основания).
Постройте прямую пересечения плоскостей $(M N K)$ и $(A B C)$ (призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ ; $K \in A A_{1}$ , $N \in A_{1} B_{1}$ , $M \in B B_{1}$ ).
Постройте прямую пересечения плоскостей $(M N K)$ и $(A B C)$ (призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ ; $M \in A A_{1}$ , $N \in B_{1} C_{1}$ , $K \in B B_{1}$ ).
Постройте прямую пересечения плоскостей $(M N K)$ и $(A B C)$ (тетраэдр $D A B C$ ; $M \in A D$ , $N \in B D$ , $K \in A C$ ).
Постройте прямую пересечения плоскостей $(M N K)$ и $(A D B)$ (тетраэдр $D A B C$ ; $M \in A C$ , $N \in C D$ , $K \in B C$ ).
Постройте прямую пересечения плоскостей $(M N K)$ и $(D C B)$ (тетраэдр $D A B C$ ; $K \in A D$ , $N \in (A B C)$ на грани/внутри, $M \in A C$ ).
Постройте прямую пересечения плоскостей $(M N K)$ и $(A B C)$ (четырёхугольная пирамида $S A B C D$ ; $M \in A S$ , $N \in C S$ , $K \in B S$ ).
Постройте прямую пересечения плоскостей $(M N K)$ и $(A B C)$ (четырёхугольная пирамида $S A B C D$ ; $M \in A S$ , $N \in B S$ , $K \in (A B C D)$ ).
Постройте прямую пересечения плоскостей $(A_{1} D N)$ и $(A B C)$ (четырёхугольная призма $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ; $N \in C C_{1}$ ).
Постройте прямую пересечения плоскостей $(M N K)$ и $(A B C)$ (четырёхугольная призма; $M \in A_{1} B_{1}$ , $K \in A A_{1}$ , $N \in C C_{1}$ ).
Постройте прямую пересечения плоскостей $(M N K)$ и $(A B C)$ (четырёхугольная призма; $K \in A_{1} B_{1}$ , $N \in B_{1} C_{1}$ , $M \in A A_{1}$ ).
Постройте прямую пересечения плоскостей $(M N K)$ и $(A B C)$ (четырёхугольная призма; $K \in A_{1} B_{1}$ , $M \in D_{1} C_{1}$ , $N \in B B_{1}$ ).

Решение

Для нахождения прямой пересечения двух плоскостей достаточно найти две общие точки этих плоскостей или одну общую точку и направление, параллельное другой прямой (по признакам параллельности).

Точка лежит на ребре , то есть принадлежит плоскости и плоскости . Прямая лежит в плоскости грани . Продлеваем прямую до пересечения с прямой в точке . Точка принадлежит обеим плоскостям. Прямая — искомая прямая пересечения.
Точка лежит на ребре , следовательно, принадлежит плоскости . Прямая лежит в плоскости грани . Продлеваем прямую до пересечения с ребром (или его продолжением) в точке . Точка принадлежит плоскости основания и плоскости . Искомая прямая — прямая .
Точка лежит в плоскости грани . Прямая лежит в этой же грани; продлеваем её до пересечения с ребром в точке . Точка принадлежит плоскости . Точка лежит на ребре , следовательно, тоже лежит в плоскости . Прямая — искомая прямая пересечения.
Точка уже лежит в плоскости и плоскости . Прямая пересекает ребро : прямая лежит в сечении/плоскости грани, продолжим прямую в плоскости грани или спроецируем. Заметим: , . Прямая лежит в плоскости грани (так как ). Пересекаем прямую с ребром в точке . Затем в плоскости грани проводим прямую через точки и , которая пересекает ребро в точке . Точки и лежат в плоскости . Искомая прямая — прямая .
Прямая лежит в грани . Находим точку пересечения . Точка лежит на ребре . Прямая лежит в грани и пересекает ребро в той же точке, если они лежат на одной прямой, либо берем прямые и , и . Поскольку , , они задают след на грани . Точка лежит в . Чтобы найти вторую точку: прямая пересекает или проводим прямую : для нахождения второй точки на соединяем с , пересекаем с — это даст ту же прямую , значит, строим точку пересечения с , либо проводим через и след. Если , а лежит на , плоскость пересекает верхнее основание по прямой через . Спроецировав или проведя прямую через две точки пересечения прямых с плоскостью : . Вторая точка получается продолжением прямой в плоскости грани : прямая через параллельна следу или через пересечение прямых. Если не лежит в плоскости : , , значит прямая лежит в плоскости ! Тогда все три точки лежат в плоскости одной грани . Следовательно, плоскость совпадает с плоскостью грани , а её пересечение с — это само ребро .
, , . Прямая лежит в плоскости грани , находим точку . Прямая лежит в грани , находим точку . Обе точки и лежат в плоскости . Искомая прямая пересечения — прямая .
, . Прямая лежит в плоскости грани . Находим точку . Точка лежит на ребре , то есть уже принадлежит плоскости . Искомая прямая пересечения — прямая .
Точка , . Прямая лежит в грани . Находим точку . Точка лежит в плоскости . Прямая лежит на ребре , . Прямая лежит в грани , находим точку . Точка лежит в плоскости . Искомая прямая пересечения — прямая .
Точка , . Прямая лежит в плоскости грани . Находим точку . Точка лежит в плоскости . Точка лежит в плоскости основания . Прямая лежит в , находим точку . Точка лежит в плоскости . Искомая прямая пересечения — прямая .
Точки , . Прямая лежит в грани , находим точку . Точки , . Прямая лежит в грани , находим точку . Точки и лежат в плоскости . Искомая прямая пересечения — прямая .
Точка лежит в плоскости . Точки , . Прямая лежит в грани , находим точку . Точка принадлежит плоскости основания . Искомая прямая — прямая .
Точка лежит в плоскости основания . Прямая лежит в плоскости диагонального сечения . Продлеваем прямую до пересечения с прямой в плоскости этого сечения: получаем точку . Точки и принадлежат обеим плоскостям. Искомая прямая — прямая .
, . Прямая лежит в грани , находим точку . Точка принадлежит плоскости основания . Чтобы найти вторую точку, рассмотрим точку : плоскость сечения пересекает грань . Прямая пересекает в точке . В грани проводим прямую через точки и , находим её пересечение с ребром : . Искомая прямая — прямая .
Точки , . Прямая лежит в грани , находим точку . Прямая лежит в плоскости верхнего основания , проводим до пересечения с (или и уже на рёбрах и ). Прямая пересекает прямую или продлеваем до пересечения с : . В плоскости грани прямая через и (так как ) пересекает прямую в точке . Искомая прямая — прямая .
, , . Точки и лежат в верхнем основании. Прямая пересекает ребро (или его продолжение) в точке . Точки и лежат в грани . Прямая лежит в этой грани и пересекает ребро в точке . Прямая также пересекает : точка . Продлеваем прямую в грани до пересечения с ребром в точке . Обе точки и лежат в плоскости . Искомая прямая — прямая .

Ответ

Прямая , где .
Прямая , где .
Прямая , где .
Прямая , где , .
Прямая (точки лежат в грани ).
Прямая , где , .
Прямая , где .
Прямая , где , .
Прямая , где , .
Прямая , где , .
Прямая , где .
Прямая , где .
Прямая , где , , .
Прямая , где , , .
Прямая , где , , .

Лист (Домашняя работа –)Построение точки пересечения прямой с плоскостью

Домашняя работа.

Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A_{1} B_{1} C_{1})$ ( $M \in B B_{1}$ , $N \in C C_{1}$ ).
Постройте точку пересечения прямой $A_{1} M$ с плоскостью $(A B C)$ ( $M \in B B_{1}$ ).
Постройте точку пересечения прямой $C M$ с плоскостью $(A_{1} A B)$ ( $M \in A_{1} C_{1}$ ).
Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ ( $N \in A_{1} B_{1}$ , $M \in C C_{1}$ ).
Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ ( $N \in A_{1} B_{1}$ , $M \in B B_{1}$ ).
Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ ( $M \in A A_{1}$ , $N \in B_{1} C_{1}$ ).
Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ ( $M \in A D$ , $N \in B D$ ).
Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B D)$ ( $M \in A C$ , $N \in C D$ ).
Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(D C B)$ ( $M \in A C$ , $N \in (A B C)$ ).
Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ ( $M \in A S$ , $N \in C S$ ).
Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ ( $M \in A S$ , $N \in B S$ ).
Постройте точку пересечения прямой $A_{1} N$ с плоскостью $(A B C)$ ( $N \in C C_{1}$ ).
Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ ( $M \in A_{1} B_{1}$ , $N \in C C_{1}$ ).
Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ ( $M \in A A_{1}$ , $N \in B_{1} C_{1}$ ).
Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $(A B C)$ ( $M \in D_{1} C_{1}$ , $N \in B B_{1}$ ).

Решение

Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью , находят вспомогательную плоскость , содержащую прямую , строят прямую пересечения плоскостей , а затем находят точку пересечения .

Прямая лежит в плоскости грани . Плоскость грани пересекает плоскость по ребру . Искомая точка: .
Прямая лежит в плоскости грани . Плоскость грани пересекает основание по прямой . Продлеваем до пересечения с : искомая точка .
Прямая лежит в плоскости грани . Эта грань пересекает плоскость по ребру . Продлеваем до пересечения с прямой : искомая точка .
Проведём вспомогательную плоскость через и параллельные образующие/высоты или спроецируем: точка , её проекция на параллельно боковым рёбрам — точка . Точка , её проекция — точка . Прямая проекции на — это . Прямая пересекает прямую в точке .
Прямая лежит в плоскости грани (так как , ). Плоскость грани пересекает основание по прямой . Искомая точка: .
Проекция точки на — точка . Проекция точки на — точка (где ). Прямая лежит в плоскости . Прямая лежит в плоскости и пересекает в точке .
Прямая лежит в плоскости грани (так как , ). Грань пересекает плоскость основания по прямой . Искомая точка: .
Прямая лежит в плоскости грани (так как , ). Грань пересекает плоскость по прямой . Искомая точка: .
Точки и обе лежат в плоскости основания . Плоскость основания пересекает грань по ребру . Продлеваем прямую в плоскости основания до пересечения с прямой : искомая точка .
Прямая лежит в плоскости диагонального сечения пирамиды. Плоскость пересекает плоскость основания по диагонали . Искомая точка: .
Прямая лежит в грани . Грань пересекает основание по прямой . Искомая точка: .
Прямая лежит в диагональной плоскости . Эта плоскость пересекает основание по прямой . Искомая точка: .
Спроецируем и на основание параллельно боковым рёбрам: проекция точки — точка ; проекция точки — вершина . Прямая проекции на — прямая . Прямая лежит в плоскости и пересекает прямую в точке .
Проекция на — точка . Проекция — точка (). Проекция прямой на основание — прямая . В плоскости трапеции/параллелограмма прямая пересекает прямую в точке .
Проекция точки на плоскость параллельно боковым рёбрам — точка . Проекция точки — вершина . Прямая проекции в плоскости основания — прямая . Прямая пересекает прямую в искомой точке .

Ответ

.
.
.
, где ().
.
, где ().
.
.
.
.
.
.
, где ().
, где ().
, где ().

Помогло?

Задачи по стереометрии, часть 4. 1. Постройте прямую пересечения плоскостей…