Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки M, N, K являются… (геометрия)

№ Сечение куба плоскостью через середины трёх рёбер

Дан куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Точки $M, N, K$ являются серединами рёбер $A A_{1}$ , $B B_{1}$ и $C C_{1}$ соответственно.

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки $M, N, K$ .
Определите вид полученного многоугольника и обоснуйте свой ответ.

Решение

Точки и лежат в грани . Соединяем их: .
Точки и лежат в грани . Соединяем их: .
Плоскость сечения пересекает параллельные грани и по параллельным прямым. Поэтому в грани проводим через прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке .
Так как , а , то , то есть — середина . Соединяем с и с .

Сечение — четырёхугольник .

Вид многоугольника. Пусть ребро куба равно . Точки лежат на высоте над основанием, поэтому плоскость сечения параллельна плоскости . Тогда равен основанию (проекции его сторон равны сторонам основания):

Все углы прямые, так как стороны сечения параллельны сторонам квадрата

💡 Почему так

Плоскость, проходящая через середины трёх боковых рёбер куба, параллельна основанию и отсекает от куба равный ему квадрат.

Ответ

Сечение — квадрат со стороной (где — середина ); его площадь .

№ Сечение правильной четырёхугольной пирамиды методом следов

Дана правильная четырёхугольная пирамида $S A B C D$ . Точка $M$ лежит на ребре $S A$ , точка $N$ — на ребре $S C$ , точка $K$ — на ребре $S D$ .

Постройте след секущей плоскости $(M N K)$ на плоскости основания $A B C$ .
Найдите точки пересечения секущей плоскости с ребром $S B$ .
Постройте полное сечение пирамиды и обведите его контур.

Решение

Точное положение точек на рёбрах в условии не задано, поэтому чертёж схематичный.

Прямые и лежат в плоскости . Находим точку . Она принадлежит секущей плоскости и плоскости основания.
Прямые и лежат в плоскости . Находим точку . Она тоже принадлежит обеим плоскостям.
Прямая — след плоскости на плоскости основания.
Прямая пересекает прямую в точке . Точки и лежат в плоскости . Проводим прямую и находим . Это и есть точка пересечения секущей плоскости с ребром .
Последовательно соединяем точки по граням: и (грань ), и (грань ), и (грань ), и (грань ). Контур сечения обводим.

💡 Почему так

Две точки, общие для секущей плоскости и плоскости основания, задают след. Через след находят точки пересечения секущей плоскости с рёбрами, на которых не было заданных точек.

Ответ

След — прямая , где , . Точка на ребре : , где . Сечение — четырёхугольник .

№ Сечение наклонного параллелепипеда методом следов

Дан параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Точки $P, Q, R$ лежат на рёбрах $A B$ , $B_{1} C_{1}$ и $D D_{1}$ соответственно.

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью $(P QR)$ методом следов.

Решение

Точное положение точек в условии не задано. Для чертежа берём — середину , — середину , — середину .

Проектируем на основание параллельно боковым рёбрам: — середина . Прямые и лежат в одной плоскости. Находим — точку следа в основании.
След — прямая . Она пересекает в точке , прямую в точке и прямую в точке .
В грани соединяем и точку (). Точки и лежат в плоскости , поэтому лежит на ребре .
В грани соединяем и .
Точки и лежат в плоскости . Прямая пересекает ребро в точке . В верхней грани соединяем и .
В грани соединяем и . В грани соединяем и . В основании соединяем и .

Сечение — шестиугольник . Его противоположные стороны параллельны: , , , так как лежат на параллельных гранях.

💡 Почему так

След секущей плоскости в плоскости основания позволяет найти точки пересечения плоскости с остальными рёбрами. Параллельные грани пересекаются секущей плоскостью по параллельным прямым.

Ответ

Сечение — шестиугольник , где , , .

Помогло?

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки M, N, K являются серединами рёбер AA₁, BB₁…