Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки M, N, K — середины… (геометрия)

№ Сечение куба плоскостью через середины трёх рёбер

Дан куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Точки $M$ , $N$ , $K$ — середины рёбер $A A_{1}$ , $B_{1} C_{1}$ , $C C_{1}$ соответственно.

Постройте сечение куба плоскостью $M N K$ .
Определите, какой многоугольник получается в сечении.
Сколько рёбер куба пересекает секущая плоскость?

Выберите правильный ответ.

Какой многоугольник получается в сечении куба плоскостью $M N K$ ( $M$ , $N$ , $K$ — середины $A A_{1}$ , $B_{1} C_{1}$ , $C C_{1}$ )? Треугольник / Четырёхугольник / Пятиугольник
Сколько рёбер куба пересекает эта секущая плоскость?

Подпись ученика: ответ пятиугольник, 5, нарисуй фигуру.

Решение

Ответ «пятиугольник, » не подходит: проверка по координатам показывает, что сечение — шестиугольник.

Возьмём ребро куба, равное , и введём координаты: , , , . Тогда , , , .

Шаг . Найдём координаты середин рёбер:

Шаг . Составим уравнение плоскости .

Нормаль

, берём

Подставляем : .

Шаг . Найдём точки пересечения плоскости с рёбрами, подставляя координаты вершин ребра:

ребро : , тогда , это точка ;
ребро : , тогда , это середина ;
ребро : , тогда , это точка ;
ребро : , тогда , это точка ;
ребро : , тогда , это середина ;
ребро : , тогда , это середина .

Остальные рёбра плоскость не пересекает. Например, для () получаем , а для () получаем . Обе точки вне куба.

Шаг . Соединяем точки по граням:
(грань ), (грань ), (грань ), (грань ), (грань ), (грань ).

Получаем шесть точек и шесть сторон. Сечение — шестиугольник .

Шаг . Плоскость пересекает шесть рёбер: , , , , , .

💡 Почему так

Каждая сторона сечения лежит в одной грани, и каждая вершина сечения — точка пересечения плоскости с ребром. Здесь таких точек шесть, и все они — середины рёбер, поэтому в сечении правильный шестиугольник.

Ответ

Построено сечение , где , , — середины рёбер , , .
Шестиугольник (правильный). Вариантов «треугольник, четырёхугольник, пятиугольник» нет, верного среди них нет.
Плоскость пересекает рёбер: , , , , , .

Помогло?

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки M, N, K — середины рёбер AA₁, B₁C₁,…