Постройте точки пересечения прямой MN с… (геометрия)

№ Точки пересечения прямой с плоскостями граней куба

Постройте точки пересечения прямой $M N$ с плоскостями $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ . (На рисунке куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ; точка $M$ лежит на ребре $B B_{1}$ , точка $N$ — на ребре $C C_{1}$ .)

Решение

Точки и лежат в плоскости грани , поэтому прямая лежит в этой плоскости.

Плоскость пересекает плоскость по прямой . Прямая и прямая лежат в одной плоскости и не параллельны. Продолжаем и (за точку ) до пересечения в точке . Тогда , а значит .
Плоскость пересекает плоскость по прямой . Продолжаем и (за точку ) до пересечения в точке . Тогда , а значит .

💡 Почему так

Если прямая лежит в плоскости грани, её точка пересечения с плоскостью другой грани лежит на линии пересечения этих плоскостей.

Ответ

— точка пересечения с плоскостью ; — точка пересечения с плоскостью .

№ Построение сечений куба

Постройте сечения, проходящие через указанные точки.

Куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , сечение через точки $A$ , $C$ и $M$ ( $M$ лежит на ребре $C_{1} D_{1}$ ).
Куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , сечение через точки $P$ , $M$ , $N$ ( $P$ лежит на ребре $A_{1} B_{1}$ , $M$ — на ребре $A D$ , $N$ — на ребре $C D$ ).

Решение

) Сечение через , , .

Точки и лежат в плоскости основания, поэтому проводим .

Плоскости оснований параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает верхнее основание по прямой, параллельной , то есть параллельной . Через проводим в плоскости прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке .
Соединяем с (грань ) и с (грань ).

Сечение — трапеция .

) Сечение через , , .

и лежат в плоскости основания. Прямая пересекает прямую в точке и прямую в точке (обе точки лежат вне куба).
и лежат в плоскости грани . Прямая пересекает ребро в точке . Соединяем с (грань ).
лежит в плоскости грани . Прямая пересекает ребро в точке (на верхней грани и соединены отрезком ), а прямая пересекает ребро в точке .
Соединяем с (грань ).

Сечение — шестиугольник .

💡 Почему так

Секущая плоскость пересекает каждую грань по отрезку. Чтобы найти его, нужны две точки сечения, лежащие в одной грани; недостающие точки получают продолжением прямых до пересечения с плоскостью грани.

Ответ

Сечение — трапеция , где , .
Сечение — шестиугольник , где , , .

Помогло?

Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями ABC и A₁B₁C₁. (На рисунке…