Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка M лежит на ребре BB₁… (геометрия)

№ Точки и прямые на кубе, пересечение прямой с плоскостью

Дан куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Точка M лежит на ребре $B B_{1}$ , точка N лежит на ребре $C C_{1}$ и точка K лежит на ребре $D D_{1}$ .
а) Назовите плоскости, в которых лежат точки M; б) точка N.
в) Постройте точку пересечения прямой KN и плоскости ABC.
г) Постройте точку пересечения прямой KN и плоскости $A_{1} B_{1} C_{1}$ .
д) Постройте точку пересечения прямой MN и плоскости ABC.
е) Постройте точку пересечения прямой MN и плоскости $A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Решение

а) Точка M лежит на ребре , поэтому она лежит во всех плоскостях, содержащих это ребро: в плоскостях граней (то есть ) и (то есть ), а также в диагональной плоскости .

б) Точка N лежит на ребре : она лежит в плоскостях и (то есть ), а также в диагональной плоскости .

в) Прямая KN лежит в плоскости грани , так как K и N лежат в ней. Плоскости и пересекаются по прямой DC. Продолжаем KN и DC до пересечения в точке X. Тогда — искомая точка, она лежит и на KN, и в плоскости ABC.

г) Плоскости и пересекаются по прямой . Продолжаем KN и до пересечения в точке Y. Тогда .

д) Прямая MN лежит в плоскости грани . Плоскости и пересекаются по прямой BC. Продолжаем MN и BC до пересечения в точке Z. Тогда .

е) Плоскости и пересекаются по прямой . Продолжаем MN и до пересечения в точке T. Тогда .

💡 Почему так

Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, берём плоскость, содержащую эту прямую, и находим её линию пересечения с данной плоскостью. Искомая точка лежит на этой линии.

Ответ

а) и (также );
б) и (также );
в) ;
г) ;
д) ;
е) .

№ Сечения куба, пересечение плоскостей, длины отрезков

Дан куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , $P \in B B_{1}$ , $B_{1} P = P B$ .

Постройте точку пересечения плоскости ABC с прямой $D_{1} P$ .
Постройте линию пересечения плоскостей $A D_{1} P$ и $A B B_{1}$ .
Вычислите длину отрезков AP и $A D_{1}$ , если $A B = a$ .

Решение

Точки и P лежат в плоскости диагонального сечения , значит, прямая лежит в ней. Плоскости и ABC пересекаются по прямой BD. Продолжаем и DB до пересечения в точке Q. Тогда — искомая точка.

Так как и , то — средняя линия треугольника . Значит, B — середина QD, и (точка Q лежит на продолжении DB за точку B).

Точка A общая для обеих плоскостей. Точка P лежит на ребре , то есть в плоскости , и в плоскости по условию. Две общие точки определяют прямую, поэтому линия пересечения — прямая AP.
Треугольник ABP прямоугольный (), , :

— диагональ грани со стороной a:

💡 Почему так

Прямая и плоскость пересекаются в точке, которая лежит на линии пересечения плоскости ABC с плоскостью, содержащей эту прямую. Две плоскости пересекаются по прямой, проходящей через две их общие точки.

Ответ

, точка Q лежит на продолжении DB за B, ;
прямая AP;
, .

Помогло?

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка M лежит на ребре BB₁, точка N лежит…