Постройте сечение тетраэдра плоскостью… (геометрия)

№ Сечение тетраэдра через три точки на рёбрах

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки (на рисунке 1 три точки: на рёбрах, выходящих из вершины D, на DA, DB и DC).

Решение

Обозначим точки: , , .

и лежат в грани , соединяем .
и лежат в грани , соединяем .
и лежат в грани , соединяем .

Сечение — треугольник .

💡 Почему так

Две точки, лежащие в одной грани, соединяют отрезком: он является стороной сечения.

Ответ

Сечение — треугольник .

№ Сечение тетраэдра: точки на DA, DC и BC

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки (на рисунке 2 три точки: на ребре DA, на ребре DC и на ребре BC около вершины B).

Решение

Обозначим точки: , , .

и лежат в грани . Проводим прямую и продолжаем её до пересечения с прямой в точке (обе прямые лежат в плоскости ).
и лежат в плоскости основания . Проводим ; она пересекает ребро в точке .
Соединяем и (грань ), и (грань ).

Сечение — четырёхугольник .

💡 Почему так

Если две точки сечения лежат в одной грани, а третья в другой, находят след сечения на плоскости основания: точку пересечения прямой сечения с прямой основания.

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , .

№ Сечение через середины рёбер

K, F, E — середины сторон DC, AB, BC соответственно. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки.

Решение

и лежат в грани , соединяем . Это средняя линия треугольника , поэтому .
и лежат в основании , соединяем .
Плоскость сечения содержит , поэтому она пересекает грань по прямой, параллельной . Проводим через прямую , где . Так как — середина , то — середина .
Соединяем и (грань ). — средняя линия треугольника .

Сечение — четырёхугольник , у которого и , то есть параллелограмм.

💡 Почему так

Если плоскость содержит прямую, параллельную прямой в плоскости грани, то она пересекает другие грани, содержащие , по прямым, параллельным .

Ответ

Сечение — параллелограмм , где — середина .

№ Сечение тетраэдра: точки на DC, AC и DB

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки (на рисунке 4 три точки: на ребре DC, на ребре AC слева и на ребре DB около вершины B).

Решение

Обозначим точки: , , .

и лежат в грани , соединяем .
и лежат в грани . Проводим и продолжаем до пересечения с прямой в точке (за точкой ).
и лежат в основании . Проводим ; она пересекает ребро в точке .
Соединяем и (грань ).

Сечение — четырёхугольник .

💡 Почему так

Чтобы найти точку сечения на ребре основания, продолжают прямую сечения в боковой грани до пересечения с прямой ребра основания.

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , .

№ Сечение тетраэдра: F в плоскости ABC

$F \in (A B C)$ . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки $K$ , $E$ , $F$ (K лежит на ребре DA, E — на ребре DC, F — внутри основания ABC).

Решение

и лежат в грани . Проводим и продолжаем до пересечения с прямой в точке (за точкой ).
и лежат в основании . Проводим ; она пересекает в точке и в точке .
Соединяем и (грань ), и (грань ).

Сечение — четырёхугольник .

💡 Почему так

След сечения на плоскости основания — прямая , где — точка пересечения с .

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , , .

№ Сечение тетраэдра: F в плоскости ADC, E в плоскости ABC

$F \in (A D C)$ , $E \in (A B C)$ . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки $K$ , $F$ , $E$ (K лежит на ребре DA, F — внутри грани ADC, E — внутри основания ABC).

Решение

и лежат в грани . Проводим до пересечения с ребром в точке .
и лежат в основании . Проводим до пересечения с ребром в точке .
Соединяем и (грань ).

Сечение — треугольник .

Если на вашем рисунке прямая пересекает за точкой , то она пересекает ребро в точке . Тогда прямая пересекает в точке и в точке , а сечение — четырёхугольник .

💡 Почему так

Каждая точка сечения должна лежать в плоскости грани вместе с другой точкой сечения. Так строят прямые сечения в гранях и их следы на основании.

Ответ

Сечение — треугольник , где , (при за — четырёхугольник ).

Помогло?

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки (на…