Построить сечение куба плоскостью, проходящей… (геометрия)

№

Сечение куба плоскостью через три точки

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки M, N и P. (Начало условия на фото обрезано, смысл виден по концу строки и по рисунку.) Точка P лежит на ребре $D D_{1}$ , точка M на ребре $C C_{1}$ , точка N на ребре $A B$ .

Решение

Точки P и M лежат в грани . Соединяем их: PM — сторона сечения (на чертеже пунктир, грань задняя).
Прямая PM идёт вниз влево и пересекает продолжения рёбер в плоскости задней грани. Через неё и точку N проходит секущая плоскость, поэтому ищем её следы на гранях.
Грань (нижняя): точка N лежит на AB. След плоскости на нижней грани проходит через N и пересекает ребро BC в точке Q. Соединяем N и Q.
Грань (правая): точки Q и M лежат в одной грани, соединяем QM.
Грань (передняя): плоскость пересекает ребро в точке R, соединяем RN.
Грань (левая): точки R и P лежат в одной грани, соединяем RP.
Замкнутая ломаная — искомое сечение. Видимые стороны (RN, QM) проводим сплошной линией, на невидимых гранях (NQ, MP, PR) — пунктиром.

💡 Почему так

Сечение строят по точкам, лежащим в одной грани: две такие точки соединяют отрезком. Плоскость пересекает грани по отрезкам, поэтому каждая сторона сечения лежит в своей грани.

Ответ

Сечение — пятиугольник , где Q лежит на ребре BC, R — на ребре ; M, N, P — заданные точки.

№

Сечение куба плоскостью через три точки

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки M, N и P. (Начало условия на фото обрезано, смысл виден по рисунку.) Точка M лежит на ребре $A_{1} B_{1}$ , точка N на ребре $D_{1} C_{1}$ , точка P на ребре $B B_{1}$ .

Решение

Точки M и N лежат в верхней грани . Соединяем MN — сторона сечения.
Точки M и P лежат в передней грани . Соединяем MP.
Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Передняя и задняя грани параллельны, значит, в задней грани сторона сечения параллельна MP. Проводим через N прямую, параллельную MP, до пересечения с ребром в точке S.
Точки P и S лежат в правой грани . Соединяем PS.
Четырёхугольник — искомое сечение. Стороны MN, MP, PS видимы (сплошные), сторона SN лежит на задней грани (пунктир).

💡 Почему так

Если две параллельные грани пересекает плоскость, то линии пересечения параллельны. Это позволяет провести сторону SN без вспомогательных построений.

Ответ

Сечение — четырёхугольник (трапеция), где S лежит на ребре и .

№

Сечение куба плоскостью через три точки

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки M, N и P. (Начало условия на фото обрезано, смысл виден по рисунку.) Точка M лежит на ребре $D_{1} C_{1}$ , точка N на ребре $B_{1} C_{1}$ , точка P на ребре $B B_{1}$ .

Решение

Точки M и N лежат в верхней грани. Соединяем MN.
Точки N и P лежат в правой грани . Соединяем NP.
Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым. В задней грани проводим через M прямую, параллельную NP, до пересечения с ребром в точке T. Отрезок MT — сторона сечения.
В нижней грани через P проводится сторона, параллельная MN (верхняя и нижняя грани параллельны). Для этого достаточно найти точку V на ребре AB. Соединяем PV (передняя грань).
В левой грани точка T уже есть, а плоскость пересекает ребро AD в точке U. Соединяем TU.
В нижней грани соединяем U и V.
Шестиугольник — искомое сечение. Видимые стороны MN, NP, PV проводим сплошной линией, остальные (VU, UT, TM) — пунктиром, они лежат на невидимых гранях.

💡 Почему так

Параллельные грани куба секущая плоскость пересекает по параллельным отрезкам. Поэтому стороны сечения в противоположных гранях параллельны, а остальные вершины находят, продолжая это построение по граням.

Ответ

Сечение — шестиугольник , где V лежит на ребре AB, U — на ребре AD, T — на ребре ; при этом и .

Помогло?

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки M, N и P.…