Построить плоскости сечения через заданные точки (тетраэдр NABP, точки N, M, P; M лежит на ребре AB).
Секущая плоскость проходит через N, M и P.
- Точки N и M лежат в грани NAB, поэтому проводим отрезок NM.
- Точки M и P лежат в основании ABP, поэтому проводим отрезок MP (он в основании, на чертеже штрих).
- Точки N и P лежат в грани NBP и являются вершинами, поэтому NP — ребро тетраэдра.
Стороны NM, MP, NP лежат в гранях тетраэдра, значит, сечение построено.
Сторона сечения — отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань. Чтобы его провести, нужны две точки сечения, лежащие в одной грани.
Сечение — треугольник NMP.
Построить плоскости сечения через заданные точки (тетраэдр SABC, точки M, N, P; M лежит на ребре SA, P — на SB, N — на SC).
Все три точки лежат на рёбрах, выходящих из вершины S.
- M и P лежат в грани SAB, поэтому проводим MP.
- P и N лежат в грани SBC, поэтому проводим PN.
- M и N лежат в грани SAC, поэтому проводим MN (грань задняя, отрезок штриховой).
Стороны MP, PN, NM лежат в трёх гранях, значит, сечение построено.
Если три точки лежат на трёх рёбрах, выходящих из одной вершины, то каждая пара точек лежит в общей грани. Тогда сечение — треугольник.
Сечение — треугольник MPN.
Построить плоскости сечения через заданные точки (тетраэдр SABC, точки M, N, P; M лежит на ребре SC, N — на SB, P — на AB).
- M и N лежат в грани SBC. Прямая MN пересекает прямую BC в точке X (продолжение за B).
- Точки X и P лежат в основании ABC. Проводим прямую XP, она пересекает ребро AC в точке Y.
- Точки N и P лежат в грани SAB, поэтому проводим NP.
- Точки Y и M лежат в грани SAC, поэтому проводим YM.
Четырёхугольник MNPY — искомое сечение.
Чтобы получить след секущей плоскости на основании, продлевают прямую, лежащую в боковой грани, до пересечения с прямой основания.
Сечение — четырёхугольник MNPY, где Y = XP ∩ AC, X = MN ∩ BC.
Построить плоскости сечения через заданные точки (тетраэдр SABC, точки M, N, P; M лежит на ребре SA, N — на SC, P — на BC).
- M и N лежат в грани SAC. Прямая MN пересекает прямую AC в точке X (продолжение за A).
- Точки X и P лежат в основании. Прямая XP пересекает ребро AB в точке Y.
- Точки N и P лежат в грани SBC, поэтому проводим NP.
- Точки M и Y лежат в грани SAB, поэтому проводим MY.
Четырёхугольник MNPY — искомое сечение.
След секущей плоскости на основании — прямая XP. Она задаёт точку Y на ребре AB.
Сечение — четырёхугольник MNPY, где X = MN ∩ AC, Y = XP ∩ AB.
Построить плоскости сечения через заданные точки (тетраэдр SABC, точки M, N, P; M лежит на ребре SA, N — на SB; P лежит на штриховом ребре AC).
Точка P на чертеже лежит на штриховой линии AC, поэтому считаем, что P ∈ AC.
- M и N лежат в грани SAB. Прямая MN пересекает прямую AB в точке X (продолжение за B).
- Точки X и P лежат в основании. Прямая XP пересекает ребро BC в точке Q.
- Точки N и Q лежат в грани SBC, поэтому проводим NQ.
- Точки P и M лежат в грани SAC, поэтому проводим PM.
Четырёхугольник MNQP — искомое сечение.
След плоскости на основании — прямая XP. Она пересекает стороны основания AC и BC в точках P и Q.
Сечение — четырёхугольник MNQP, где X = MN ∩ AB, Q = XP ∩ BC.
Построить плоскости сечения через заданные точки (куб ABCDA₁B₁C₁D₁, точки M, N, P; M лежит на ребре AA₁, N — на D₁C₁, P — на CC₁).
- N и P лежат в грани DCC₁D₁. Прямая NP пересекает прямую DC в точке X, а прямую DD₁ в точке Y (оба продолжения вне куба).
- Точки M и Y лежат в грани AA₁D₁D. Прямая MY пересекает ребро A₁D₁ в точке Q и прямую AD в точке Z (за A).
- Точки Z и X лежат в основании. Прямая ZX пересекает ребро AB в точке K и ребро BC в точке L.
- Соединяем последовательно точки, лежащие в одной грани: MK (грань AA₁B₁B), KL (основание), LP (грань BB₁C₁C), PN (грань DCC₁D₁), NQ (верхняя грань), QM (грань AA₁D₁D).
Получаем шестиугольник MKLPNQ.
Когда точки лежат на разных гранях, продлевают прямые в гранях до пересечения с прямыми рёбер. Так находят следы секущей плоскости.
Сечение — шестиугольник MKLPNQ (K ∈ AB, L ∈ BC, Q ∈ A₁D₁).
Построить плоскости сечения через заданные точки (куб ABCDA₁B₁C₁D₁, точки M, N, P; M лежит на ребре A₁B₁, N — на B₁C₁, P — на CC₁).
- M и N лежат в верхней грани, поэтому проводим MN.
- N и P лежат в грани BB₁C₁C. Прямая NP пересекает прямую BC в точке X (за C) и прямую BB₁ в точке Y (за B₁).
- Точки M и Y лежат в грани AA₁B₁B. Прямая MY пересекает ребро AA₁ в точке Q и прямую AB в точке Z (за A).
- Точки Z и X лежат в основании. Прямая ZX пересекает ребро AD в точке L и ребро DC в точке K.
- Соединяем последовательно: MN, NP, PK (грань DCC₁D₁), KL (основание), LQ (грань AA₁D₁D), QM (грань AA₁B₁B).
Получаем шестиугольник MNPKLQ.
След секущей плоскости на основании — прямая ZX. Она задаёт точки K и L на рёбрах DC и AD.
Сечение — шестиугольник MNPKLQ (K ∈ DC, L ∈ AD, Q ∈ AA₁).
