Построить сечение параллелепипеда плоскостью… (геометрия)

Сечение параллелепипеда плоскостью через точки на рёбрах верхней грани и боковом ребре

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, N, P. (Первый рисунок: M лежит на левом верхнем ребре, N — на заднем верхнем ребре, P — на заднем правом боковом ребре.)

Решение

Обозначим вершины сами: нижнее основание , верхнее (E над A, F над B, G над C, H над D). Тогда , , .

Построение:

и лежат в плоскости верхнего основания — проводим .
и лежат в плоскости задней грани — проводим .
Продолжаем до пересечения с прямой (продолжение ребра за точку ) и получаем точку .
и лежат в плоскости правой грани . Прямая пересекает ребро в точке .
Верхнее и нижнее основания параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Через проводим , где .
и лежат в плоскости левой грани — проводим .

Сечение — пятиугольник .

💡 Почему так

Если две точки лежат в одной грани, соединяем их. Плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Недостающие точки находим как пересечение следа с продолжением ребра.

Ответ

Сечение — пятиугольник , где , , .

Сечение параллелепипеда плоскостью через точки на боковых рёбрах

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, N, P. (Второй рисунок: M лежит на заднем правом боковом ребре, P — на переднем правом боковом ребре, N — на заднем левом боковом ребре.)

Решение

Обозначим вершины: нижнее основание , верхнее . Тогда , , .

Построение:

и лежат в правой грани — проводим .
и лежат в задней грани — проводим .
Передняя и задняя грани параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Через проводим , где .
и лежат в левой грани — проводим .

Сечение — четырёхугольник .

💡 Почему так

Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам: , а также .

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , .

Сечение тетраэдра плоскостью через три точки на рёбрах

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N, P. (Рисунок: тетраэдр $S A B C$ ; $N$ лежит на ребре $S A$ , $M$ — на ребре $S B$ , $P$ — на ребре $A C$ .)

Решение

Обозначим вершины: — верхняя, — левая, — правая, — передняя вершины основания.

Построение:

и лежат в грани — проводим прямую до пересечения с прямой в точке .
и лежат в грани — проводим .
и лежат в плоскости основания — проводим . Она пересекает ребро в точке .
и лежат в грани — проводим .

Сечение — четырёхугольник .

💡 Почему так

Точка лежит и в плоскости сечения, и в плоскости основания. Поэтому прямая — след сечения на основании.

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , .

Помогло?

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, N, P…