Найдите площадь сечения единичного куба A...D₁… (геометрия)

№ Сечение куба плоскостью через вершину и середины двух рёбер

Найдите площадь сечения единичного куба $A ... D_{1}$ плоскостью, проходящей через вершину $B$ и середины $C D$ , $B_{1} C_{1}$ .

Решение

Координаты: , , , , . Середина — , середина — .

Векторы: , . Нормаль плоскости , уравнение:

Плоскость пересекает ребро в точке . На ребре , , поэтому , откуда и .

Сечение — четырёхугольник . Его проекция на основание имеет вершины , , , . По формуле шнурка:

Косинус угла между плоскостью сечения и основанием:

Площадь сечения:

💡 Почему так

Площадь фигуры равна площади её проекции, делённой на косинус угла между плоскостями.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Сечение куба плоскостью через середины трёх рёбер

Найдите площадь сечения единичного куба $A ... D_{1}$ плоскостью, проходящей через середины рёбер $A D$ , $A B$ , $B B_{1}$ .

Решение

Середины рёбер: на , на , на .

Нормаль плоскости , уравнение: .

Плоскость пересекает ещё три ребра: , , . Все три пересечения — их середины: , , .

Сечение — шестиугольник . Каждая его сторона — половина диагонали грани куба:

Все стороны равны, и шестиугольник правильный (он симметричен относительно оси, проходящей через и ). Площадь:

💡 Почему так

Плоскость, перпендикулярная диагонали куба и проходящая через середины рёбер, даёт правильный шестиугольник.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Сечение куба плоскостью через две вершины и середину ребра

Найдите площадь сечения единичного куба $A ... D_{1}$ плоскостью, проходящей через вершины $A$ , $C$ и середину $A_{1} D_{1}$ .

Решение

Координаты: , , — середина .

Векторы: , . Нормаль , уравнение:

На ребре , , поэтому и . Это середина .

Сечение — трапеция с основаниями и . Проекция на основание — четырёхугольник , , , . Его площадь:

(это квадрат без двух треугольников по и половины квадрата , ответ тот же: ).

Косинус угла с основанием:

Площадь сечения:

💡 Почему так

Площадь сечения равна площади проекции на основание, делённой на косинус угла наклона плоскости.

Ответ

✓ dzmen.ru

№

Сечение куба плоскостью через две вершины и середину ребра

Найдите площадь сечения единичного куба $A ... D_{1}$ плоскостью, проходящей через вершины $A_{1}$ , $B$ и середину ребра $C_{1} D_{1}$ .

Решение

Координаты: , , — середина .

Векторы: , . Нормаль , уравнение:

На ребре , , поэтому и . Это середина .

Сечение — трапеция (стороны и параллельны). Проекция на основание: , , , , её площадь:

Косинус угла с основанием:

Площадь сечения:

💡 Почему так

Площадь сечения равна площади проекции, делённой на косинус угла между плоскостями.

Ответ

✓ dzmen.ru

№

Сечение куба плоскостью через две вершины и середину ребра

Найдите площадь сечения единичного куба $A ... D_{1}$ плоскостью, проходящей через вершины $A_{1}$ , $C_{1}$ и середину ребра $D C$ .

Решение

Координаты: , , — середина .

Векторы: , . Нормаль , уравнение:

На ребре , , поэтому и . Это середина .

Сечение — трапеция с основаниями и . Её проекция на основание: , , , , площадь:

Косинус угла с основанием:

Площадь сечения:

💡 Почему так

Площадь сечения равна площади проекции на основание, делённой на косинус угла наклона плоскости.

Ответ

✓ dzmen.ru

№

Сечение куба плоскостью через три вершины

Найдите площадь сечения единичного куба $A ... D_{1}$ плоскостью, проходящей через вершины $A$ , $B$ , $C_{1}$ .

Решение

Плоскость содержит ребро и точку . Так как (оба параллельны ), плоскость проходит и через . Сечение — четырёхугольник .

и , значит, это параллелограмм. и , поэтому плоскости , откуда . Значит, сечение — прямоугольник со сторонами:

Площадь:

💡 Почему так

Сечение, проходящее через ребро куба и противоположную параллельную ему вершину, — прямоугольник.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Найдите площадь сечения единичного куба A...D₁ плоскостью, проходящей через…