Найдите площадь сечения единичного куба A… D₁ плоскостью, проходящей через…

Пусть — ребро куба.
Обозначим:
— середина ,
— середина ,
— середина .

1. Отрезок соединяет середины и , следовательно, , .
2. Так как плоскость сечения проходит через в плоскости грани , линия пересечения с этой гранью параллельна (так как грани и параллельны). Проведём через точку прямую, параллельную , до пересечения с ребром в точке . Точка является серединой , при этом и .
3. Сечение представляет собой четырёхугольник . Так как и , это параллелограмм.
4. Сторона лежит в грани . Найдём её длину из прямоугольного треугольника :
   
   
   
5. Так как грани , отрезок перпендикулярен любой прямой этой грани, то есть .
   Следовательно, четырёхугольник — прямоугольник.
6. Найдём площадь прямоугольника:
   

Пусть — длина ребра куба.
Обозначим:
— середина ,
— середина ,
— середина .

1. Отрезок соединяет середины вертикальных рёбер и , значит и .
2. В плоскости нижнего основания грань пересекается по прямой, параллельной . Проведём через точку прямую, параллельную , до пересечения с ребром в точке . Точка — середина , и .
3. Сечение куба — четырёхугольник . Так как и , это параллелограмм.
4. Отрезок лежит в грани . Из прямоугольного треугольника :
   
   
   
5. Так как прямая перпендикулярна грани , а , то . Следовательно, четырёхугольник — прямоугольник.
6. Вычислим площадь сечения:
   

Пусть .
Обозначим:
— середина ,
— середина .

1. Прямая лежит в грани , прямая лежит в грани .
2. Так как противоположные грани куба и параллельны, сечение пересекает грань по прямой, параллельной . Прямая соединяет точку с серединой противоположного вертикального ребра . Проводя из точки прямую, параллельную , получаем точку на ребре куба (так как , смещение от вниз на и влево на даёт ровно вершину ).
3. Таким образом, сечение проходит через вершину , а четырёхугольник сечения — .
4. Найдём стороны четырёхугольника из прямоугольных треугольников:
   
   
   Аналогично, . Значит, — ромб.
5. Диагонали ромба — это и :
   — диагональ квадрата основания :
   
   
   Отрезок соединяет середины рёбер и . Его проекция на основание равна диагонали , а высоты точек и одинаковы (), поэтому:
   
6. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
   

Пусть .
Обозначим:
— середина ,
— середина .

1. Плоскость сечения проходит через точки , , .
2. В плоскости грани лежит отрезок . В грани лежит отрезок .
3. Так как плоскости противоположных граней параллельны (), линия сечения в грани проходит через точку параллельно прямой . При этом прямая пересекает ребро в вершине (вектор $\stackrel{⃗}{}\frac{}{}$, от точки смещение параллельно даёт вершину ).
   Четырёхугольник сечения — .
4. Найдём стороны четырёхугольника:
   
   
   Аналогично, .
   Следовательно, четырёхугольник — ромб.
5. Диагонали этого ромба:
   Диагональ соединяет середины и . Точки лежат в одной горизонтальной плоскости на высоте , поэтому:
   
   
   Диагональ — главная диагональ куба:
   
6. Найдём площадь ромба:
   

Пусть .
Обозначим:
— середина ,
— середина .

1. Отрезок соединяет середины сторон квадрата , поэтому:
   
   
   Прямая параллельна , а значит и .
2. Продолжим до пересечения с прямыми и в точках и .
   В треугольнике средняя линия отсекает на продолжениях отрезки и .
   Тогда прямая пересекает ребро в точке , которая делит в отношении , считая от (или из подобия: — середина быть не может, проверим координаты).

Введём систему координат с началом в :
, , , , .
Точки:
, , .

3. Найдём уравнение плоскости сечения :
   Точки и :
   .
   Тогда:
   

   
   Для точки : .
   Для точки : .
   Подставим :
   
   
   Разделим всё уравнение на :
   

4. Найдём точки пересечения плоскости с рёбрами куба:

• Ребро : .
  Точка лежит на ребре .
• Ребро : .
  Точка лежит на ребре .
• Точка .
• Точки и .

Сечение — пятиугольник .

5. Площадь сечения можно найти через площадь его ортогональной проекции на плоскость основания ():
   Проекцией сечения является пятиугольник , где:
   , , , , .
   Площадь проекции равна площади квадрата минус площадь прямоугольного треугольника :
   

6. Найдём косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания:
   Нормальный вектор сечения: $\stackrel{⃗}{}$.
   Нормальный вектор основания: ${\stackrel{⃗}{}}_{}$.
   

   $\frac{\stackrel{⃗}{}{\stackrel{⃗}{}}_{}}{\stackrel{⃗}{}{\stackrel{⃗}{}}_{}}\frac{}{\sqrt{{}^{}{}^{}{}^{}}}\frac{}{\sqrt{}}\frac{}{\sqrt{}}$

7. Площадь сечения: