Найти площадь сечения единичного куба… (геометрия)

Сечение единичного куба плоскостью через B, D и середину CC

Найти площадь сечения единичного куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через вершины $B_{1}$ и $D$ и середину ребра $C C_{1}$ .

Решение

Введём координаты: , , , , — середина .

Уравнение плоскости : для имеем , для имеем , для имеем .

Пересечение с ребром (): , . Получаем точку — середину .

Других рёбер плоскость не пересекает. Сечение — четырёхугольник .

, , значит и . Аналогично . Это параллелограмм, причём , то есть ромб.

Площадь параллелограмма — модуль векторного произведения:

💡 Почему так

Сечение строим по точкам пересечения плоскости с рёбрами. Если в нём параллелограмм, его площадь равна длине векторного произведения двух смежных сторон.

Ответ

✓ dzmen.ru

Сечение пирамиды SABCD плоскостью через A, B и середину SC

Найдите площадь сечения пирамиды $S A B C D$ , все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$ , $B$ и середину ребра $S C$ .

Решение

Пусть — середина . Так как , прямая параллельна плоскости сечения. Плоскость проходит через и пересекает сечение по прямой , где , поэтому . Значит, — средняя линия треугольника , — середина и .

Сечение — трапеция с основаниями и .

— медиана равностороннего треугольника со стороной , поэтому . Аналогично , трапеция равнобедренная.

Высота трапеции: — проекция боковой стороны на основание.

💡 Почему так

Прямая, параллельная плоскости, параллельна линии пересечения этой плоскости с любой плоскостью, проходящей через эту прямую. Поэтому .

Ответ

✓ dzmen.ru

Сечение единичного куба плоскостью через A и середины BC, DD

Найдите площадь сечения единичного куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , проходящее через вершину $A$ и середины ребер $B C$ , $D D_{1}$ .

Решение

Координаты: , — середина , — середина .

Плоскость : из получаем , из получаем . Берём , , . Уравнение: .

Пересечение с ребром (): , . Получаем точку .

Остальные рёбра плоскость не пересекает. Сечение — четырёхугольник .

Проекция сечения на основание — четырёхугольник , , , . По формуле шнурков:

Косинус угла между плоскостью сечения и основанием:

💡 Почему так

Площадь проекции многоугольника равна площади самого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через…