На рисунке изображён угол с двумя пересекающимися отрезками. Необходимо найти длину отрезка, обозначенного буквой x.
Данные с рисунка: на вертикальной стороне угла
Применим теорему Менелая к треугольнику
Теорема Менелая: для треугольника и секущей прямой произведение трёх отношений отрезков, взятых по обходу, равно
x =
Найдите в каком отношении точка D делит отрезок BC.
По клеткам:
Теорема Менелая для треугольника
Подстановка этих значений даёт
Отношение определяется по теореме Менелая через известные отрезки на сторонах
BD : DC =
В треугольнике ABC на стороне BC взята точка N так, что NC = 4BN. На продолжении стороны AC за точку A отмечена точка M так, что MA = AC. Прямая MN пересекает сторону AB в точке F. Найдите отношение AF : FB.
Прямая
Так как
Прямая
AF : FB =
Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны AC в точке K. Известно, что AK = 6, CK = 2. Прямая, проходящая через точки касания этой окружности с другими сторонами треугольника, пересекает прямую AC в точке M. Найдите MC.
Пусть окружность касается
Теорема Менелая для треугольника
Точка
Равенство отрезков касательных позволяет сократить неизвестную длину
MC =
Через точку M на основании AC треугольника ABC провели прямые, параллельные двум другим его сторонам и пересекающие их в точках P и Q. Прямая PQ пересекает прямую AC в точке K. Найдите отрезок AK, если AM = 2, CM = 5.
Так как
Так как
Теорема Менелая для треугольника
Пусть
Параллельные прямые по теореме Фалеса дают отношения
AK =
Стороны NK и MK треугольника MNK пересекает прямая в точках C и B соответственно, а продолжение стороны MN за точку M эта прямая пересекает в точке A. Известно, что AM = 4 см, NC в 3 раза длиннее CK, KB : BM = 5 : 3. Найдите длину стороны треугольника MN.
Теорема Менелая для треугольника
MN =
Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. На прямой AC взяли точку N так, что точка C делит отрезок AN в отношении 2 к 3. В каком отношении прямая MN делит сторону треугольника AB?
Пусть
Проведём медиану
Медианы делятся точкой пересечения в отношении
AD : DB =
В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и BC. AK : KB = 3 : 2, CL : LB = 1 : 2, Q – точка пересечения отрезков AL и CK. Площадь треугольника BQC равна 5. Найдите площадь треугольника ABC.
Теорема Менелая для треугольника
Значит,
Пусть
Площади треугольников с общей вершиной и основаниями на одной прямой относятся как длины оснований.
S =
