На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (−4;6) и отмечены точки −1, 0, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке, то есть показывает, как быстро и в какую сторону меняется функция.
Рассмотрим отмеченные точки:
: функция возрастает, . : функция возрастает, и очень круто, . : функция убывает, причём круто (график быстро идёт вниз от максимума около ), . : функция убывает, но почти полого, касательная близка к горизонтальной, , но по модулю мала.
Наименьшее значение производной — отрицательное с наибольшим по модулю значением. Сравниваем точки
Следовательно, наименьшее значение производной в точке
Производная равна тангенсу угла наклона касательной. Наименьшая производная там, где функция убывает быстрее всего (касательная наклонена вниз круче всего).
