Материальная точка движется прямолинейно по закону… (алгебра)

№ Физический смысл производной

⚠️

Не решено задание (график y = f'(x)): на фото обрезано условие, виден только рисунок. В заданиях и правый край текста обрезан, их условия восстановлены по смыслу. Чтобы решить задание , переснимите его ближе и крупнее, вместе с текстом условия.

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t^{2} - 5 t + 3$ , (где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Решение

Скорость — производная координаты по времени:

Приравниваем к :

Время не может быть отрицательным, поэтому

💡 Почему так

Скорость при прямолинейном движении равна производной координаты по времени.

Ответ

№ Физический смысл производной

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x (t) = - t^{4} + 6 t^{3} + 5 t + 23$ , (где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее ускорение в $(м / с^{2})$ в момент времени $t = 3$ с.

Решение

Скорость:

Ускорение:

При

💡 Почему так

Ускорение — производная скорости, то есть вторая производная координаты.

Ответ

№ Точки экстремума по графику функции

На рисунке изображен график функции $y = f (x)$ , определенной на интервале $(- 2; 12)$ . Найдите сумму точек экстремума функции $f (x)$ .

Решение

Точки экстремума — это точки, где график меняет возрастание на убывание или наоборот. По графику (значения считаны по клеткам, возможна небольшая погрешность):

максимумы в точках , , , ;
минимумы в точках , , .

Сумма:

💡 Почему так

Точки экстремума — те, в которых производная меняет знак. На графике это вершины максимумов и минимумов.

Ответ

№ Знак производной по графику функции

На рисунке изображён график дифференцируемой функции $y = f (x)$ . На оси абсцисс отмечены девять точек: $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{9}$ . Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции $f (x)$ отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

Решение

Производная отрицательна там, где функция убывает.

На участке от до максимума, который находится в точке , функция возрастает. Поэтому в и производная положительна, а в она равна нулю.
От до минимума в точке функция убывает. Значит, в и производная отрицательна, а в равна нулю.
От до максимума, который расположен между и , функция возрастает. Поэтому в и производная положительна.
После этого максимума функция убывает, значит, в производная отрицательна.

Отрицательна производная в точках , то есть в трёх точках.

💡 Почему так

Если , функция убывает. В точках максимума и минимума производная равна нулю.

Ответ

Помогло?

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/3t³-3t²-5t+3, (где x…