На плоскости нарисованы восьмиугольник и прямая, которая делит его на части…

Восьмиугольник не обязательно выпуклый. Часть лежит по одну сторону от прямой, поэтому от каждой стороны восьмиугольника в ней есть не более одного куска.

Пусть у части отрезков на разрезающей прямой. Каждый такой отрезок соединяет два разных пересечения прямой со сторонами, поэтому и .

Пусть в части вершин восьмиугольника. Каждый её участок границы начинается и заканчивается на прямой, значит, число его кусков на больше числа его вершин. Тогда

1. . Прямая пересекает все сторон, и вершины по разные стороны от неё чередуются. С одной стороны лежат вершины, то есть и .

2. . Прямая пересекает сторон, и вершины образуют по  серии с каждой стороны. Значит, с каждой стороны минимум вершины, а на нужную сторону приходится не более . Получаем .

3. Меньшие дают .

Итак, , поэтому  и невозможны.

Примеры (построения описаны без рисунка): получается, если отрезать угол выпуклого восьмиугольника. получается, если разрезать выпуклый восьмиугольник прямой через две противоположные вершины, тогда в каждой части сторон; а  — например, если разрезать выпуклый восьмиугольник так, чтобы прямая пересекала две стороны, лежащие через две стороны друг от друга, тогда в части сторон; для и берут невыпуклый «звёздчатый» восьмиугольник с отражёнными вершинами, который прямая пересекает по  или сторонам, и одна часть охватывает все выступы.