На острове живут рыцари, которые всегда говорят… (математика)

Рыцари и лжецы

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На собрание пришёл 91 житель острова, и каждый сделал одно утверждение. Один из них заявил, что на этом собрании присутствует ровно тринадцать рыцарей. Двое сказали, что на собрании присутствует ровно двенадцать рыцарей. Трое — ровно одиннадцать рыцарей и т. д. Наконец, 13 человек сказали, что на собрании присутствует ровно один рыцарь. Сколько рыцарей могло быть на собрании? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Решение

Сначала проверим данные: число людей, сказавших «ровно рыцарей», равно , где от до . Всего , это совпадает с условием.

Пусть на собрании рыцарей. Утверждение «ровно рыцарей» истинно только при , поэтому правдивой может быть не более чем одна группа.

Случай : . Тогда истинно утверждение группы «ровно рыцарей». В ней человек, и все они рыцари. Остальные говорят неправду, значит, они лжецы. Рыцарей получается ровно , поэтому

Проверка: группа «ровно рыцарей» состоит из человек, все они говорят правду и являются рыцарями. Остальные человека лгут, и это верно, так как для них . Получилось ровно рыцарей, всё сходится.

Случай : или . Ни одно из утверждений не истинно, поэтому все человек лжецы. Тогда , что подходит (значение невозможно). Проверка: при все утверждения вида «ровно рыцарей» () ложны, и все говорящие — лжецы. Противоречия нет.

💡 Почему так

Правдивой может быть только группа, назвавшая настоящее число рыцарей. Если такая группа есть, то её размер должен равняться этому числу; если нет, все — лжецы.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда…